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本文主要研究了中心商的阶为p5以及部分中心循环且中心商的阶为p6的有限非循环p-群.班桂宁等人已经给出了中心循环且满足中心商的阶是p5的群也是LA-群，部分推广了Davitt在1980年关于LA-猜想的重要结论，即：满足中心商的阶小于等于p4的有限非循环p-群G是LA-群.因此本文的主要内容及成果如下：
(1)本文首先利用群的扩张理论和自由群的方法证明了中心非循环且中心商的阶是p5的有限非循环p-群是存在的.其次结合群的自同构的特性证明了这些群均是LA-群，由此完全地推广了Davitt在1980年关于LA-猜想的重要结论。
(2)基于1980年Rodney James的论文，在阶为p6的第十七到二十三族群和四十一族群的基础上，利用群的扩张理论给出很多中心循环且中心商的阶为p6的有限新p-群，这些群将要么是新的LA-群要么是LA-猜想的一个反例，这为以后进一步推广本文的重要结论打下基础。