现今界面的不稳定性在流体力学的研究中是一个很重要的问题,从物理实验到数值模拟等方面有关界面不稳定性的研究都引起了人们的众多关注。一定的物理机制可使得初始状态时流体界面小振幅的扰动演变成大振幅的扰动,这就是所谓的界面不稳定性。引发界面不稳定性的物理机制可以是激波的作用,它造成Richtmyer-Meshkov不稳定性,可以是引力,它造成Rayleigh-Taylor不稳定性,或者速度切变,它造成Kelvin-Helmholtz不稳定性。对界面不稳定性的研究在科学和工程方面有着广泛的应用,例如水下爆炸、雾滴沉积、惯性约束聚变（ICF）,及超新星爆炸等自然现象。对于描述界面不稳定性的流体方程组,如Euler方程组或Navier-Stokes方程组,无论是可压的还是不可压缩情况,其精确解都很难找到,因此通过理论研究所得到的结论是非常有限的。有关界面问题的物理实验通常十分困难,且由于实验条件的限制,物理实验所得到的结果通常不够准确,尤其是在流动的后期阶段关于界面的细节方面不够准确。因此,现今关于界面问题的数值研究引起了广泛关注,人们希望通过数值模拟给出这类问题更清晰的解释。目前有两类关于界面不稳定的问题引起了人们在数值模拟及实验上的关注,这两个问题分别是激波-气泡作用的问题和单模Richtmyer-Meshkov不稳定性问题。在激波-气泡问题中,一个圆柱形或者球形的充满了氦气,R22或者其他任何气体的气泡被放置在一个充满空气的方形激波管中,见[28,39,38],一个在空气中运动的激波从右侧撞击气泡并和其作用。它们之间的作用在开始阶段产生了不同的激波,并且在激波相互作用后气泡严重变形。这类问题有两个重要的东西需要研究：1)开始阶段产生的激波以及它们的传播速度和跨过他们的压力变化,2)后期阶段气泡发生严重形变后的形状。有关这个问题的详细讨论将在第四章给出。在单模Richtmyer-Meshkov不稳定问题中,一个激波管中有两种不同的流体被一个界面分开,且给界面一个正弦波的扰动,然后一激波与这个界面作用。激波的作用使得界面变得不稳定,并且使得界面的小扰动变成具有气泡和尖状的非线性构造[4]。在单模Richtmyer-Meshkov不稳定问题研究中,扰动的振幅和振幅的增长率的理论分析结果,物理实验以及数值模拟的结果是否吻合,是一个非常重要的问题,见[33,32,31,27]。有关这个问题的更详细的讨论将在第五章给出。对两类问题的数值模拟具有双重的意义。首先,它们是研究流体力学的重要的基准问题,通过对比数值计算结果和在早期通过物理实验所得到的结果,人们可以验证他们的算法的物理上的合理性和数学上的有效性。第二,人们希望通过数值模拟来研究不稳定性的后期阶段,如在激波-气泡问题中后期的界面结构严重变形,以及在单模Richtmyer-Meshkov不稳定问题中的振幅扰动和振幅增长率,以期得到更好的结果。模拟这两类问题所使用过的数值方法有很多,其中包括基于Euler网格的方法[67,57,77,42],Lagrange或者ALE方法[51,21],level set方法[63,81]VOF方法[74],和界面追踪法[84,24,52]。一般来说,这些方法在开始阶段得到的结果是令人满意的,和物理实验所得到的结论是相吻合的,而且比物理试验更清晰。但是对于后期阶段的数值模拟大多不令人满意,主要困难有复杂界面的构造,网格的大形变,以及数值耗散等,这些困难使人们不能得到很好的结果。因此,对这两类问题的数值模拟对现今的计算流体来说仍是一个巨大的挑战。在过去的二十年里,对二维的Euler方程组茅德康发展了一种跟踪法,见[52,53]。关于二维Euler方程组可以见下一章的（2.2.1）。该方法和所有的跟踪法一样,几乎没有数值耗散。而且相对于其它跟踪法,有如下两个方面的特点：1)间断曲线由Euler方程组的守恒律性质跟踪,而不是通过曲线上Rienmann问题的解所得到的传播速度跟踪。2)间断曲线的运动由从Euler方程组所导出的一维偏微分方程所刻画,跟踪是通过笛卡儿子网格上局部离散这些一维偏微分方程来实现的。这样的设计使得茅德康的跟踪法相对其它的跟踪法更简单,它在笛卡儿网格上运行,并且没有用到自适应网格。更为重要的是它是守恒的。这个方法已经被成功地运用于各种数值模拟实验,并且在一维和二维的情况下都表现出其高效性,见[52,53,54,55,56,92,93]。在本文中作者用茅德康的跟踪法对Haas-Sturtevant两个激波-气泡问题和Benjamin的和Meshkov的单模Richtmyer-Meshkov不稳定问题进行数值模拟。对两个激波-气泡相互作用的问题,对空气-氦气的情形数值运算进行到后期的983微秒时刻,对于空气-R22情形运算进行到后期的1020微秒时刻。关于定性方面的比较,作者用Matlab绘制了密度的彩色图像,并和试验获得的阴影图像进行比较[26]。关于定量比较,作者绘制了早期的激波和气泡界面上一些特征点的x—t运动轨迹图,用线性最小二乘法计算了他们的速度,并且和实验及其他方法所得到的结果进行了比较。此外也给出了压力的分布,并和实验的所得到的关于压力的轨迹作比较。不管是定性比较还是定量比较都能看出,用我们的数值方法所得到的结果和实验结果吻合的更好。此外,我们的数值模拟给出了在这两种情况下后期气泡发生严重形变后的图形,这些图形能够显示出气泡在那段时间的拓扑构造。最后讨论了涡旋的产生。对两类单模RM-不稳定问题,我们计算了振幅和振幅的增长率。在这两种情形下,计算得到的振幅和振幅的增长率和Holmes等人的数值结果吻合的很好[32],尽管我们的结果比他们的更大一些。正如Holmes等人所给出的解释[32],界面的增长速度将会下降,这种界面的减速是由于反射激波和折射激波相互作用产生的次波所导致,它是一种非线性压缩现象。他们给出了一些特定时刻压力的图形,从这些图形上可以捕捉到这种非线性压缩现象。为了证明这个观点,我们用数值方法算出了这些特殊时刻的压力图,从图上也可以捕捉到这种非线性压缩现象。本文的结构如下：在第二章中,我们简单的描述了控制方程,可压流体力学的Euler方程组,以及介质界面。第三章中,我们简单的描述了茅德康的守恒型追踪法。第四章中我们对Haas-Sturtevant的两个Shock-bubble相互作用问题的进行了数值模拟。我们在4.1节描述了这两个问题；我们在4.2节介绍了关于这两个问题已有的数值计算方面的工作；4.3节描述了数值模拟的设置,其中包括一网格加密的研究,以确保我们的数值模拟在所用网格上是可靠的；4.4节中给出了空气-氦气情况下的的数值结果；4.5节给出了空气-R-22情况下的数值结果。在每一部分中都包含了两部分,对数值模拟的定性和定量的评估以及数值模拟中的所得到的新发现以及理解。在第五章中给出了两个单模RM-不稳定性的基准问题。给出了振幅扰动和振幅增长率的定义,我们对问题进行了数值模拟,并且和Holmes得到的数值结果作比较。此外,对于RM-不稳定性问题,我们还给出了后期的渐进解。我们提出了RM不稳定性的长时间渐近解。计算了长时间的钉状和泡状速度。泡状结构速度与势能流模型的比较,以及钉状结构速度与最佳拟合曲线的比较,最后给出了结论。