小波分析是近年来迅速发展起来的新兴学科,应用领域十分广泛。1990年,J.Liandrat,P.Tehamitchian开始始将小波分析应用于双曲型偏微分方程的数值求解。随后有许多专家学者对这一领域做了进一步的研究和探索,并获得了一些有用的算法。可以将小波分析应用于偏微分方程的数值求解是由小波函数的特性决定的。小波函数在空间和频域都具有很好的局部性,它可以根据研究对象的不同频率成分自动调节取样步长,将信号分解为交织在一起的多种尺度成分,并可聚焦到对象的任何细节。这一点对于解决奇异性和瞬时突变性的偏微分方程至关重要。本文首先介绍了小波分析的发展及其理论中的经典理论,包括多尺度分析绍了紧支撑小波、Daubechies小波。其次,本文对插值小波理论进行了介绍。主要介绍了插值基函数的构造、插值小波多尺度分析以及以二分点上的插值多项式为基础的插值小波基函数,在插值小波基上,函数在二分点上的值与小波系数一一对应,并指出Daubechies小波尺度函数自相关函数就是一类插值基函数。最后,在小波插值理论的基础上,本文介绍了一种的基于Daubechies小波求解微分方程的自适应算法。首先利用在二分点上对初始条件进行多项式插值,构造了在所有二分点处插值的近似表达式。通过对小波系数与一个阈值比较,保留系数大于阈值的小波,在保持一定精度下,可以用很少的小波系数来逼近原函数。结合配点法的基本思想,对空间域进行离散,得到一个常微分方程组,在一个时间步长上再用经典的四阶Runge-Kutta法求解,即可获得方程在下一个步长时刻的近似解析解,如此循环,就可以获得方程在所有以步长为整数倍时刻的近似解析解。