几类非局部椭圆型方程解的存在性

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本文主要利用变分法研究几类具有深刻物理和生物背景的非局部方程解的存在性、多解性以及唯一性,并分析了解的性质.本文主要分为以下几方面内容.首先,考虑如下带周期磁势和临界非线性项的分数阶Choquard方程ε2s(-Δ)A/εsu+V(x)u=ε-α(∫RN|u(y)|2s,α*/(|x-y|N-α)dy)|u|2s,α*-2u+ε-α(∫RNF(y,|u(y)2)/(|x-y|N-α)dy)f(x,|u|2)u,x∈RN,其中 ε 是一个正的小参数,s ∈(0,1),α ∈(0,N),N>max{2μ+4s,2s+(N-α)/2},(-Δ)As 为分数阶磁 Laplacian 算子,2s,α*=(N+α)/(N-2s)是关于 Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的上临界指数.在关于函数A,V,f的假设下,利用Lions’集中紧性引理证明了当ε>0充分小时,此方程基态解的存在性.其次,研究如下带位势和L~2-超临界非线性项的分数阶Choquard方程(-Δ)su+V(x)u+λu=(Iα*F(u))f(u),x∈RN,满足∫RNu2dx=ρ2,ρ>0,其中s ∈(0,1),N>2s,α∈(0,N),(-Δ)s为分数阶Laplacian算子.特别地,参数λ ∈R是未知的,且为Lagrange乘子.Iα是Riesz位势.在关于函数V,f的假设下,引入一个辅助泛函,并利用一个抽象的极小极大原理证明了在相应的环绕水平上存在一列满足额外条件的Palais-Smale序列,从而得到此方程L~2-正规化解的存在性.然后,研究如下带L~2-次临界或者L~2-超临界非线性项的Kirchhoff-型方程-(a+b∫R3 |▽u|2dx)Δu+λu=|u|p-2u,x ∈ R3,满足∫R3u2dx=ρ2,其中ρ,a,b为正参数,p ∈(2,10/3)∪(14/3,6).未知参数λ ∈R为Lagrange乘子.利用亏格理论构造一列极小极大能量水平,并根据一个抽象的极小极大原理得到了辅助泛函在每一个极小极大能量水平上的一个满足额外条件的Palais-Smale序列,从而得到此方程无穷多径向对称L~2-正规化解的存在性.最后,考虑如下Neumann边界条件下含一般非线性项的分数阶Keller-Segel方程其中ε是一个正的参数,Ω是RN(N ≥ 2)中的有界光滑区域,v是?Ω的单位外法向量.在关于Sobolev次临界非线性项h满足不同的假设条件下,利用山路引理证明了当ε>0充分小时,此方程基态解的存在性.进一步,利用Moser迭代技巧,研究了该解关于ε → 0时的一致有界性.同时,建立了与上述方程相关的Pohozaev-型恒等式,并利用此恒等式证明了在非线性项h满足适当的假设条件下,上述方程有界弱解的不存在性.此外,当N ≥ 5时,我们考虑了上述方程含Sobolev临界非线性项的情形,即h(t)=tN+1/N-1.通过对极小能量水平进行更加精确地估算,证明了该极小能量水平上极小化序列的紧性,从而得到了在Sobolev临界情形下此方程基态解的存在性.特别地,如果Ω是RN中的凸区域,我们证明了当ε>0充分大时,该解是常数.
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