论文部分内容阅读
金融衍生品自出现以来，就经历了快速的增长。若将其认为是经济领域里的一顶皇冠的话，那么期权就是这项皇冠中的璀璨明珠。随着现代金融市场的不断发展，金融危机的发生越来越频繁。作为风险管理的一种工具，金融市场对期权的需求和研究越来越深入。中国沪深股市交易市场，已经结束了指数期权和个股期权的仿真交易，个股期权上市也有月余。中国大陆期权时代的序幕已经拉开，对于期权这种相对陌生的产品，应如何把控，并对其进行合理的定价将是面临的迫在眉睫的问题。
期权定价理论在国外的发展走过了一条不断适应市场，不断改善模型的曲折发展道路。1973年Black-Scholes提出了具有里程碑意义的B-S模型。B-S模型在严格的完备市场假设下，经过完美的数理推导，得出了欧式期权的解析解公式。人们在继续深入研究中，发现了金融市场中一些不符合完备市场假设的现象，如方差的时变性、非对称现象。这些新问题的出现需要新的模型来刻画。上世纪80年代Engle和Bollerslev分别提出了ARCH模型和GARCH模型，这两个模型很好的解决了上述问题。其中，GARCH模型放松了B-S模型对完备市场的严格假设，其在定价性能上也有了很大的提高。在真实市场中人们经常观测到利空消息与利好消息对股价的不同冲击。一般而言，利空消息会导致股价出现更大幅度的下跌，而同等规模的利好消息对股价拉升作用却小得多，学术界将这种现象称为“杠杆效应”。针对市场中的“杠杆效应”，一些学者对GARCH模型进行了改造，使之能够刻画这种非对称的“杠杆效应”，这一类的模型称为非对称GARCH模型。其中典型的代表是GJR-GARCH和EGARCH模型。另外市场上个股股价会发生瞬时的突变，从而导致产生不连续的对数收益率，这种现象被解释为“跳跃现象”。最早在模型中考虑跳跃行为的是Merton模型，该模型用最简单的复合泊松过程来描述跳跃行为，并获得了很好的实证效果。在随后的研究中，在GARCH模型中加入了更复杂的随机跳跃过程-Levy过程。Levy过程是一系列具有独立平稳增量、无限可分特征的随机过程，这一过程能够刻画金融随机序列中的跳跃特征，与正态分布假设相比，具有更好的定价效果。在GARCH模型中引入了Levy过程，不仅增加了模型的复杂度，而且对模型参数估计和风险中性调整都带来一定的困难。Levy-GARCH模型在定价中，最关键的是要有效的生成Levy随机数，针对这一问题本文采用时变布朗运动生成算法。
蒙特卡罗模拟定价的理论基础是概率论，当使用蒙特卡罗模拟方法进行期权定价时，其实质是模拟期权标的资产的价格路径，并在多次模拟的基础上预测标的资产的平均价格，在此基础上计算出期权价格的估计值。蒙特卡罗模拟方法的误差由生成随机数误差和模拟次数决定，虽然最简单减少蒙特卡罗模拟误差的方法是增加模拟次数，但增加模拟次数后增加的计算成本是高昂的，实证中常采用方差缩减技术和增加模拟次数相结合的方法来降低蒙特卡罗模拟的误差。基于蒙特卡罗模拟的方差减少技术，主要有对偶变量法、控制变量法、重要抽样和分层抽样。本文采用时变布朗运动算法生成NIG和VG随机数，通过从属过程压缩布朗运动时间轴来实现。这一算法为非对称Levy过程采用对偶变量来缩减方差提供理论基础，所以选择易对偶变量方法进行方差缩减处理。
按照上述的理论依据，本文的主要内容为:
首先介绍GARCH模型和Levy过程，在介绍GARCH模型章节中详细推导了本文两个基本模型GJR-GARCH模型和EGARCH模型以及HN模型。Levy过程理论介绍了简单的泊松过程、以及本文实证采用的VG过程、NIG过程和CGMY过程。并对VG过程和NIG过程推导了时变布朗运动算法，为本文实证章节做好理论基础准备。基于目前理论模型，采用GJR-GARCH模型和EGARCH模型作为基础模型，引入Levy过程刻画标的资产价格跳跃过程，形成复合的Levy-GARCH模型作为本文描述标的资产价格动态过程基本理论模型。
本文从个股与指数期权、个股与权证的差别出发，结合数据的可获得性和实证结果对大陆期权市场参考意义等方面来考虑，采用香港股市的个股期权数据作为样本数据。选择了香港市场上10只样本期权进行定价研究。选择个股期权数据，需要面临与指数期权不一样的问题，因为指数期权数据并不存在个股期权除权、派息等影响名义个股股票的事件。而且指数期权与个股期权之间的差异，也使得指数期权的研究不能等同到个股期权上。
最后是本文的实证内容，采用蒙特卡罗模拟定价，蒙特卡罗模拟定价依赖与计算机技术的发展。但核心的步骤是Levy分布随机数的生成，随机数生成的高效与否与生成算法息息相关。Levy分布本质上是标准正态分布的一种变形，所以可以通过对正态分布的变形生成复杂的Levy分布。而时变布朗运动算法真实基于这一理论基础，通过从属过程对布朗运动时间轴的压缩，来获得Levy分布随机数。这一方法适用于大部分的Levy过程，如NIG过程和VG过程。所以本文使用时变布朗运动生成算法，生成服从VG分布和NIG分布的随机数。在生成随机数过程中，考虑增加模拟次数降低模拟误差方法需要高昂计算成本，采用对偶变量方法进行模拟随机数的方差缩减。
并基于生成的随机数和参数估计结果对样本期权进行蒙特卡罗模拟定价。本文采用RMRSE、RMSE、AAE、AARE四个评价指标对模型的定价能力进行评价。其中RMSE和AAE是绝对指标，适用与样本内单个期权实证的效果评价，RMRSE和AARE是相对的评价指标，鉴于样本内的个股期权价值差异较大，适用相对的评价指标进行实证结果评价。基于本文选择的样本，四个评价指标表明，在GARCH模型中引入Levy过程能够极大的提高模型的定价能力，引入Levy过程后的GARCH模型定价效果普遍优于B-S模型。
本文贡献和创新:
本文选择非对称GARCH模型，引入非正态Levy过程描述金融时间序列数据的跳跃特性，形成复合的Levy-GARCH期权定价模型。针对复合Levy-GARCH模型参数估计比较难的问题，本文对GARCH模型和Levy过程分别进行参数估计。其中，GARCH模型采用了高效的MLE估计方法，而Levy过程由于概率密度函数的复杂性，甚至没有显式的概率密度函数，所以Levy过程不适用MLE估计方法。为解决Levy过程参数估计面临的问题，结合Levy过程各阶矩函数简单的特点，采用矩估计方法对Levy过程进行参数估计。对于P测度下的参数,利用Levy分布的矩母指数进行风险中性调整，得到Q测度下的定价模型。
基于MATLAB平台，采用蒙特卡罗模拟方法，并首次在时变布朗运动生成随机数基础上，利用对偶变量方法缩减蒙特卡罗模拟方差，模拟个股股价的走势，在模拟一定次数的基础上，统计到期日模拟的个股股价的分布，得到蒙特卡罗模拟下的股票价格。再根据期权的价值公式，计算出期权对应的价格，那么得出的价格就是基于Levy-GARCH模型的模型价格。对偶变量方差缩减技术的采用，能很大程度上提高模型定价精度。
本文样本数据的选择上，区别前人研究期权定价多选择指数期权。基于个股期权与指数期权之间的差异，综合选择香港市场上个股期权，来验证本文的Levy-GARCH模型。在分析不同个股期权模型定价差异中，认为偶然性的突发空难对航空公司和行业股价造成冲击，且模型把这种偶然性的剧烈冲击导致的剧烈波动刻画到历史规律中，并进行定价会损失定价精度。在分析金融行业和石化行业的定价差别中，得出金融行业个股期权具有普适性，从而导致需求大于其他个股期权，影响期权的市场价格高于理论价格。因此本文从个股期权间不同需求差异导致不同定价精度的现象上，推理认为，个股期权的供求关系也是影响定价精度的因素。依据本文实证结果，市场上对于一些热门期权（如本文中的金融行业期权）会产生强劲需求，导致市场价格偏高。那么使用模型进行定价，就会降低定价精度。
期权定价理论在国外的发展走过了一条不断适应市场，不断改善模型的曲折发展道路。1973年Black-Scholes提出了具有里程碑意义的B-S模型。B-S模型在严格的完备市场假设下，经过完美的数理推导，得出了欧式期权的解析解公式。人们在继续深入研究中，发现了金融市场中一些不符合完备市场假设的现象，如方差的时变性、非对称现象。这些新问题的出现需要新的模型来刻画。上世纪80年代Engle和Bollerslev分别提出了ARCH模型和GARCH模型，这两个模型很好的解决了上述问题。其中，GARCH模型放松了B-S模型对完备市场的严格假设，其在定价性能上也有了很大的提高。在真实市场中人们经常观测到利空消息与利好消息对股价的不同冲击。一般而言，利空消息会导致股价出现更大幅度的下跌，而同等规模的利好消息对股价拉升作用却小得多，学术界将这种现象称为“杠杆效应”。针对市场中的“杠杆效应”，一些学者对GARCH模型进行了改造，使之能够刻画这种非对称的“杠杆效应”，这一类的模型称为非对称GARCH模型。其中典型的代表是GJR-GARCH和EGARCH模型。另外市场上个股股价会发生瞬时的突变，从而导致产生不连续的对数收益率，这种现象被解释为“跳跃现象”。最早在模型中考虑跳跃行为的是Merton模型，该模型用最简单的复合泊松过程来描述跳跃行为，并获得了很好的实证效果。在随后的研究中，在GARCH模型中加入了更复杂的随机跳跃过程-Levy过程。Levy过程是一系列具有独立平稳增量、无限可分特征的随机过程，这一过程能够刻画金融随机序列中的跳跃特征，与正态分布假设相比，具有更好的定价效果。在GARCH模型中引入了Levy过程，不仅增加了模型的复杂度，而且对模型参数估计和风险中性调整都带来一定的困难。Levy-GARCH模型在定价中，最关键的是要有效的生成Levy随机数，针对这一问题本文采用时变布朗运动生成算法。
蒙特卡罗模拟定价的理论基础是概率论，当使用蒙特卡罗模拟方法进行期权定价时，其实质是模拟期权标的资产的价格路径，并在多次模拟的基础上预测标的资产的平均价格，在此基础上计算出期权价格的估计值。蒙特卡罗模拟方法的误差由生成随机数误差和模拟次数决定，虽然最简单减少蒙特卡罗模拟误差的方法是增加模拟次数，但增加模拟次数后增加的计算成本是高昂的，实证中常采用方差缩减技术和增加模拟次数相结合的方法来降低蒙特卡罗模拟的误差。基于蒙特卡罗模拟的方差减少技术，主要有对偶变量法、控制变量法、重要抽样和分层抽样。本文采用时变布朗运动算法生成NIG和VG随机数，通过从属过程压缩布朗运动时间轴来实现。这一算法为非对称Levy过程采用对偶变量来缩减方差提供理论基础，所以选择易对偶变量方法进行方差缩减处理。
按照上述的理论依据，本文的主要内容为:
首先介绍GARCH模型和Levy过程，在介绍GARCH模型章节中详细推导了本文两个基本模型GJR-GARCH模型和EGARCH模型以及HN模型。Levy过程理论介绍了简单的泊松过程、以及本文实证采用的VG过程、NIG过程和CGMY过程。并对VG过程和NIG过程推导了时变布朗运动算法，为本文实证章节做好理论基础准备。基于目前理论模型，采用GJR-GARCH模型和EGARCH模型作为基础模型，引入Levy过程刻画标的资产价格跳跃过程，形成复合的Levy-GARCH模型作为本文描述标的资产价格动态过程基本理论模型。
本文从个股与指数期权、个股与权证的差别出发，结合数据的可获得性和实证结果对大陆期权市场参考意义等方面来考虑，采用香港股市的个股期权数据作为样本数据。选择了香港市场上10只样本期权进行定价研究。选择个股期权数据，需要面临与指数期权不一样的问题，因为指数期权数据并不存在个股期权除权、派息等影响名义个股股票的事件。而且指数期权与个股期权之间的差异，也使得指数期权的研究不能等同到个股期权上。
最后是本文的实证内容，采用蒙特卡罗模拟定价，蒙特卡罗模拟定价依赖与计算机技术的发展。但核心的步骤是Levy分布随机数的生成，随机数生成的高效与否与生成算法息息相关。Levy分布本质上是标准正态分布的一种变形，所以可以通过对正态分布的变形生成复杂的Levy分布。而时变布朗运动算法真实基于这一理论基础，通过从属过程对布朗运动时间轴的压缩，来获得Levy分布随机数。这一方法适用于大部分的Levy过程，如NIG过程和VG过程。所以本文使用时变布朗运动生成算法，生成服从VG分布和NIG分布的随机数。在生成随机数过程中，考虑增加模拟次数降低模拟误差方法需要高昂计算成本，采用对偶变量方法进行模拟随机数的方差缩减。
并基于生成的随机数和参数估计结果对样本期权进行蒙特卡罗模拟定价。本文采用RMRSE、RMSE、AAE、AARE四个评价指标对模型的定价能力进行评价。其中RMSE和AAE是绝对指标，适用与样本内单个期权实证的效果评价，RMRSE和AARE是相对的评价指标，鉴于样本内的个股期权价值差异较大，适用相对的评价指标进行实证结果评价。基于本文选择的样本，四个评价指标表明，在GARCH模型中引入Levy过程能够极大的提高模型的定价能力，引入Levy过程后的GARCH模型定价效果普遍优于B-S模型。
本文贡献和创新:
本文选择非对称GARCH模型，引入非正态Levy过程描述金融时间序列数据的跳跃特性，形成复合的Levy-GARCH期权定价模型。针对复合Levy-GARCH模型参数估计比较难的问题，本文对GARCH模型和Levy过程分别进行参数估计。其中，GARCH模型采用了高效的MLE估计方法，而Levy过程由于概率密度函数的复杂性，甚至没有显式的概率密度函数，所以Levy过程不适用MLE估计方法。为解决Levy过程参数估计面临的问题，结合Levy过程各阶矩函数简单的特点，采用矩估计方法对Levy过程进行参数估计。对于P测度下的参数,利用Levy分布的矩母指数进行风险中性调整，得到Q测度下的定价模型。
基于MATLAB平台，采用蒙特卡罗模拟方法，并首次在时变布朗运动生成随机数基础上，利用对偶变量方法缩减蒙特卡罗模拟方差，模拟个股股价的走势，在模拟一定次数的基础上，统计到期日模拟的个股股价的分布，得到蒙特卡罗模拟下的股票价格。再根据期权的价值公式，计算出期权对应的价格，那么得出的价格就是基于Levy-GARCH模型的模型价格。对偶变量方差缩减技术的采用，能很大程度上提高模型定价精度。
本文样本数据的选择上，区别前人研究期权定价多选择指数期权。基于个股期权与指数期权之间的差异，综合选择香港市场上个股期权，来验证本文的Levy-GARCH模型。在分析不同个股期权模型定价差异中，认为偶然性的突发空难对航空公司和行业股价造成冲击，且模型把这种偶然性的剧烈冲击导致的剧烈波动刻画到历史规律中，并进行定价会损失定价精度。在分析金融行业和石化行业的定价差别中，得出金融行业个股期权具有普适性，从而导致需求大于其他个股期权，影响期权的市场价格高于理论价格。因此本文从个股期权间不同需求差异导致不同定价精度的现象上，推理认为，个股期权的供求关系也是影响定价精度的因素。依据本文实证结果，市场上对于一些热门期权（如本文中的金融行业期权）会产生强劲需求，导致市场价格偏高。那么使用模型进行定价，就会降低定价精度。