上世纪70年代,I.Simon建立了形式语言与半群之间的对应关系,即一个语言是分段可测的当且仅当它可以由一个J-平凡幺半群识别.自此,J-平凡幺半群成为形式语言理论和半群代数理论中的一个重要研究对象.在泛代数中,半群的有限基问题和子簇计数问题是半群簇理论的研究重点和热点.本论文主要研究了几类带有对合运算的J-平凡幺半群:五阶幺半群A01,Catalan幺半群,Kiselman幺半群,布尔矩阵幺半群,以及Lee幺半群的有限基问题及其子簇计数问题.主要内容如下:第三章研究了小阶数对合半群的有限基问题.通过建立一个对合半群是非有限基的判定条件,证明了五阶对合J-平凡幺半群（A01,*）是非有限基的.进一步,我们证明了所有阶数小于等于四的对合半群都是有限基的.因此,（A01,*）是阶数最小的非有限基的对合半群.令Cn和Kn（n ≥2）分别为Catalan幺半群和Kiselman幺半群,它们在半群的组合学和表示理论中发挥重要作用.M.V.Volkov等人证明了幺半群Cn和Kn是有限基的当且仅当n≤4.第四章研究了带有对合运算的Catalan幺半群（Cn,*）和Kiselman幺半群（Kn,*）的有限基问题,证明了（Cn,*）和（Kn,*）是有限基的当且仅当n=2;且当n≤4时,（Cn,*）和（Kn,*）是等式等价的.但当n≥5时,二者是否是等式等价的仍然是一个公开问题.令BRn为所有主对角线上元素是1的n × n布尔矩阵在矩阵乘法运算下构成的半群.半群BRn在转置τ和斜转置σ运算下分别构成对合半群（BRn,τ）和（BRn,σ）.已知半群BRn是有限基的当且仅当n≤4.第五章主要证明了对合半群（BRn,τ）是有限基的当且仅当n≤4,从而回答了 Auinger等人提出的公开问题.进一步,我们证明了对合半群（BRn,σ）是有限基的当且仅当n≤2.因此,当n≤4时,对合半群（BRn,τ）和（BRn,σ）虽然具有相同的半群约简,但有限基性质不完全相同.Lee幺半群Lk1（k≥ 2）在半群簇与对合半群簇的研究中具有重要作用.O.B.Sapir等人证明了幺半群Lk1是非有限基的当且仅当k≥ 3.第六章主要研究了对合的Lee幺半群（Lk1,*）的有限基问题.当k≥ 3且k是奇数时,我们证明了（Lk1,*）是非有限基的.根据已有的结论,得到（Lk1,*）是非有限基的当且仅当k≥2.第七章研究了对合幺半群簇的子簇计数问题.通过建立一个对合幺半群簇包含连续多个子簇的判定条件,证明了几类带有对合运算的J-平凡幺半群:自由幺半群的Rees商,Lee幺半群,Catalan幺半群,Kiselman幺半群,以及布尔矩阵幺半群生成的簇包含连续多个子簇.