论文部分内容阅读
随着神经动力学的不断发展与完善，各类神经元模型开始被广泛的研究，例如，Hodgkin-Huxley模型、Morris-Lecar模型、Hindmarsh-Rose模型、FitzHugh-Nagumo模型. Rinzel对FHN模型加以延展，得到了一个三维的神经动力系统，即FitzHugh-Nagumo-Rinzel模型，此模型反映了神经元在接受刺激时产生的不同放电模式和动力学行为，具有重要的理论意义和实用价值.本文主要是利用微分方程定性理论与分支理论的相关知识，对FitzHugh-Nagumo-Rinzel模型进行分析和研究，讨论了该系统产生平衡点的个数与条件、平衡点附近系统满足局部稳定的条件，同时，研究了在平衡点处的三类分支：Hopf分支、Bogdanov-Takens分支、Fold-Hopf分支.第一章介绍了研究FitzHugh-Nagumo-Rinzel模型的意义和研究现状，并指明了本文的主要研究工作.第二章介绍了本文涉及到的基本概念和研究方法.第三章研究FitzHugh-Nagumo-Rinzel模型，讨论了该模型的平衡点及其存在条件，研究了系统在平衡点附近的局部稳定性.第四章，首先讨论了在平衡点处的余维为1的Hopf分支，并通过计算，求解出Hopf分支点附近的周期轨稳定性系数；其次，研究了余维为2的Bogdanov-Takens分支，得到对应的鞍结点分支曲线、Hopf分支曲线及同宿分支曲线；最后，研究了Fold-Hopf分支，得到拓扑等价的柱面极坐标系统，从而产生更为丰富的动力学性质.