有限域上的置换多项式是有限域理论的重要组成部分,在密码学、编码学、组合数学等领域有着丰富而重要的应用.因此构造有限域上的置换多项式具有重要的意义.对有限域上给定的置换多项式,确定其复合逆是一个经典又困难的问题,由于其在构造密码算法方面有着重要的应用价值,所以也是置换多项式研究领域的一个重要问题.但是到目前为止,关于置换多项式的构造,还没有一般有效的方法,并且在有限域上能够得到复合逆显性表达式的置换多项式并不多.本文主要对有限域上置换多项式的构造及其复合逆的求解问题进行研究,主要成果如下:(1)有限域上的置换三项式由于其代数形式简单、性质深刻以及应用广泛得到专家学者的较多关注.本文利用分式构造法,Hou方法和Dobbertin方法,分别对F22k,F32k和F23k上的置换三项式进行研究,总共得到了 10类新的置换三项式,丰富了已有结果;(2)有限域上的迹函数性质良好,近年来有许多学者利用迹函数构造有限域上的置换多项式.本文对有限域F2kl上形如cx+Tr2kl/2k(xa)的置换多项式进行研究.首先利用Magma编程得到在条件k>1,kl<14,c∈Fql*和a ∈[1,ql-2]下的所有F2kl上形如cx+Tr2kl/2k(xa)的置换多项式.然后通过对数据进行分析,将大部分算例推广至无限类,总共得到了 15类新的F2kl上形如cx+Tr2kl/2k(xa)的置换多项式.证明方法有三种,分别是换元法,分式构造法和Dobbertin方法;(3)近几年,大量学者对偶特征域Fq2上的形如xrh xq-1 的置换三项式进行研究,并得到丰富的结果.本文对有限域Fq2(不限制q的奇偶性)上的形如xrh(xq-1)的置换多项式进行研究.两次利用AGW准则(一次是乘法情形,一次为加法情形),将证明f(x,)=xrh(xq-1)是Fq2上的置换多项式转化为证明相应的有理函数R(a)置换Fq中的子集S.随后从S上的置换R(a)出发,构造了大量Fq2上形如xrh xq-1 的置换多项式.该结果解释了大部分偶特征域上具有类似形式的置换三项式;(4)计算有限域上置换多项式的复合逆在理论(如构造Bent函数及其对偶Bent函数)和应用(如S盒)上都具有非常广泛和重要的意义.本文对有限域Fq上形如xrh(xs)的置换多项式的复合逆进行研究,其中s|q-1和gcd(r,q-1)=1.利用某交换图,将求解置换多项式f(x)=xrh(xs)在Fq上的复合逆这一问题转化为求解一个单项式的复合逆和其分式多项式xrh(x)s在μ(q-1)/s上的复合逆问题.利用该方法,得到了一些置换多项式的复合逆.