【摘 要】
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量子群及其表示理论是二十世纪八十年代新起的一个数学分支.它有着丰富的物理背景,同时与其他数学分支有着紧密的联系,如李代数,表示论,数论和可积系统等.本学位论文主要考虑的是量子一般线性超群GLq（m|n）的连通性（Connectedness）.在经典理论中,仿射代数群的连通性是由它的Zariski拓扑决定的,而Zariski拓扑可以完全通过它的坐标环来描述。然而,根据Takeuchi及其合作者的工作
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量子群及其表示理论是二十世纪八十年代新起的一个数学分支.它有着丰富的物理背景,同时与其他数学分支有着紧密的联系,如李代数,表示论,数论和可积系统等.本学位论文主要考虑的是量子一般线性超群GLq（m|n）的连通性（Connectedness）.在经典理论中,仿射代数群的连通性是由它的Zariski拓扑决定的,而Zariski拓扑可以完全通过它的坐标环来描述。然而,根据Takeuchi及其合作者的工作,一个仿射代数群有两个与之相关的Hopf代数结构:坐标代数和hyperalgebra。它们之间构成了一个Hopf对偶对,并且诱导出了一个从坐标代数到hyperalgebra有限对偶的典范Hopf代数同态。在这种观点下,仿射代数群的连通性等价于该典范同态的单射性。量子群是代数群的推广,它可以由Hopf代数的对偶对、Lie代数的量子坐标代数和包络代数所刻画。但由于量子群上缺乏Zariski拓扑,因此只有很少部分的几何工具能够被应用在量子群的研究当中。然而,仿射群连通性的纯代数刻画可以推广到量子群。即,若量子坐标代数到量子包络代数的有限对偶的典范同态是单射的,则称量子群是连通的。基于这个观点,Takeuchi证明了量子一般线性群GLq（n）是（完全）连通的。本文中我们将此结果推广到量子一般线性超群GLq（m|n）。量子一般线性超群GLq（m|n）是由量子坐标超代数A（GLq（m|n））和量子包络超代数U（GLq（m|n））所刻画。我们引入GLq（m|n）的三角分解。而正部分Tq+（m|n）由U（GLq（m|n））的子代数U（Tq+（m|n））和A（GLq（m|n））的相应商代数A（Tq+（m|n））所决定。首先通过选取A（Tq+（m|n））和U（Tq+（m|n））一组特定的基,并且严格地计算出了它们之间Hopf对偶对的取值,从而证明了Tq+（m|n）的连通性。关键的思想是对U（Tq+（m|n））的生成元重新进行排列,找到一组U（Tq+（m|n））的基使其与A（Tq+（m|n））中给定的一组PBW基对偶。最后,我们通过A（GLq（m|n））的余乘法将Tq+（m|n）和Tq-（m|n）的连通性结合起来,得到GLq（m|n）的连通性。
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