【摘 要】
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算子理论产生于二十世纪初,是泛函分析的重要组成部分.如今,它不仅在矩阵论、微积分方程、运筹学与控制论、统计学等很多理论学科领域有着广泛实际的应用,而且已深入到量子力学、微分动力系统等众多研究领域,是一个前景十分广阔的研究方向.算子不等式的作为算子理论的一个重要分支,因此对它的研究特别是一些经典的算子不等式比如Young型及各种平均不等式的研究,就显得尤为重要.近年来,该课题的研究有了很大的发展,这
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算子理论产生于二十世纪初,是泛函分析的重要组成部分.如今,它不仅在矩阵论、微积分方程、运筹学与控制论、统计学等很多理论学科领域有着广泛实际的应用,而且已深入到量子力学、微分动力系统等众多研究领域,是一个前景十分广阔的研究方向.算子不等式的作为算子理论的一个重要分支,因此对它的研究特别是一些经典的算子不等式比如Young型及各种平均不等式的研究,就显得尤为重要.近年来,该课题的研究有了很大的发展,这方面的文章亦层见迭出,我们在此基础上进行深入研究并进行完善与创新,也得到一些结果.本文中,我们主要给出Young型不等式及其反向形式的改进和推广、一种新的Heinz平均不等式以及一些含有正线性映射的算子不等式的完全加细.此外,本文也给出了扇形矩阵间Heron平均不等式的一些结果.根据以上内容,主要将本文分为以下几部分:1.第一章,介绍本文的研究背景以及所用到的相关概念和基本性质.2.第二章,给出算子和矩阵意义下的Young型及其反向不等式的几种改进方法,并对相关结果进行了推广.2.第三章,探索一种新的Young型和Heinz算子平均不等式,并运用Kantorovich常数,Specht比率以及算子迭代分别对其进行优化,进而给出其在Hilbert-Schmidt（Frobenius）范数、迹范数等方面的应用.4.第四章,运用算子范数优化推广一些含有正线性映射的算子不等式.5.第五章,将经典的正定矩阵间的Heron平均不等式延拓到扇形矩阵,同时给出其在行列式、酉不变范数及奇异值方面的应用.此外,运用正线性映射给出其新的性质并得到扇形矩阵逆的H eron平均和扇形矩阵Heron平均的逆之间的关系.
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