近些年来,随着高维数据的不断增加,处理数据的手段也随之变得更加复杂。幸运的是,这些高维数据通常有较高的相关性,例如Netflix挑战中未知的电影评价可以通过已知的评价估计出来,这为高维数据的处理提供了更好的思路。由于高维数据之间有相关性,由这些数据构成的矩阵也就往往是低秩的。目前,无论是最初的压缩感知和稀疏编码还是现在的低秩模型,这些基于低秩理论的相关算法在数据处理方面都取得了显著的效果。其中,低秩模型更是实现了自动数据恢复功能。在另一方面,为了解决高维数据难处理的问题,子空间学习被提出来并用于对数据进行降维,以便更有利于对数据进行聚类或者分类等操作。然而问题在于,在数据受到非高斯噪声干扰的情况下,一般的现有子空间算法的实际效果往往会大打折扣。因此,探索子空间学习过程中的数据相关性,并以此提高子空间学习对噪声的鲁棒性就成为了迫切需求。基于以上情况,本文从以下两个方面进行了研究:(1)从利用映射矩阵的矩阵分解来约束其秩的角度,本文提出了基于矩阵分解来实现低秩的低秩谱回归(LRSR)模型。鉴于矩阵的秩体现了矩阵行(列)的相关性,且考虑到它们的秩一定不大于其任意因子矩阵的秩,LRSR将映射矩阵进行矩阵分解,并通过约束因子矩阵的方式来约束映射矩阵的秩。LRSR在优化因子矩阵的过程中也优化了映射矩阵,同时也保证了映射矩阵的低秩性。因此,LRSR可以探索潜在的类别之间的关联,并保证LRSR模型可以得到更好的降维效果。最后通过实验证明,LRSR模型降维后分类效果较谱回归方式更具有优势。(2)从使用谱范数来度量自表达矩阵秩的角度,本文提出了基于谱回归的联合低秩与子空间学习(JLRSL)模型。鉴于矩阵的秩可以刻画数据的关联性,且为了解决目前子空间学习中降维与数据恢复过程相割裂的问题,JLRSL通过在谱回归的基础上加入不同的正则因子来实现将低秩学习与子空间学习并入统一的框架中的目标。在优化的过程中交替迭代,进而实现了低秩学习与子空间学习的同步化。JLRSL学习到低秩自表达矩阵并可利用其对数据进行自动恢复,同时也可以使用优化的映射矩阵将数据投影到低维空间上实现降维。在最后,本文进行了一系列实验,并成功证明了 JLRSL在数据降维和数据自动恢复上的有效性。