小波和滤波器的构造以及具有良好相关特性的序列设计是信息处理中的两个重要问题.小波和滤波器主要用于图像压缩、信号估计和数字水印等工程实际问题,而良好相关特性的序列主要用于扩频通信、保密通信和码分多址通信系统中.本文基于Groebner基的理论与方法,研究了小波设计与密码设计中两个关键问题,即如何将小波的设计转化为多项式环和Laurent多项式环上的代数问题,并改进已有算法来求解;基于有限域的理论与方法,研究了m序列的互相关特性,计算了某些新的m序列对的互相关函数值.主要工作如下:首先,通过分析求解代数方程组的XL算法的原理,基于Groebner基的理论与方法,给出了XL算法的一种改进算法,并通过理论与实例分析,说明改进后的算法计算复杂性有明显降低.其次,通过分析一般紧支撑正交小波的设计原理,基于Groebner基的理论与方法,从两种不同的角度研究了一般紧支撑正交小波所对应的多项式滤波器的代数表示形式,得到了该多项式滤波器的设计方程.在此基础上,针对正交两带滤波器的设计不存在完全对称有限长度解(Haar小波除外)的问题,通过适当减少消失矩的条件,提出了一种构造接近对称正交滤波器的新方法.另外,利用Groebner基的理论与方法,给出了一种设计具有线性相位的多带完全重构滤波器的算法.最后,基于有限域上的二次型与指数和理论,研究了m序列的互相关特性.m序列由于具有良好的伪随机特性和相关特性,目前已广泛用作扩频通信中的扩频序列和保密通信中的密钥序列.m序列具有理想的自相关特性,它的自相关函数是一个尖锐脉冲,但是m序列的互相关函数到目前为止仍然没有得到完整的刻画.本文对于采样因子为d = 2 m+ 3的情形,得到了m序列与其d采样序列之间的互相关函数值,并给出了这些互相关函数值的分布.