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本文将主要围绕辫子交叉(张量)范畴的构造、辫子张量范畴中的李结构、微积分理论以及乘子Hopf代数中的余表示理论等展开讨论,具体可分为以下五章:
第一章,简要介绍辫子(交叉)张量范畴、微积分理论、辫子李代数、弱Hopf代数(量子群胚)、(弱)Hopf群余代数以及乘子Hopf代数的历史背景、研究现状和本文的主要研究结果.
第二章,设B和H是弱Hopf代数.利用相容的弱Hopf对偶配对(B,H,σ),构造一个广义Drinfeld量子偶D(B,H).特别地,当B和H是有限维且σ是非退化时,D(B,H)带有非平凡的拟三角结构.最后,作为定理的应用,给出一些例子,比如群胚代数,Drinfeld量子偶,特别地,任意一个有限维弱Hopf代数通过自同构群,可以得到一个带有非平凡的拟三角结构的广义Drinfeld量子偶.
第三章,设(C,G)是一个辫子张量范畴,A是C的-个代数.借助[104]中的Jacobi辫子李代数,得到了对于(A,[,])是-个辫子李代数的充要条件.进一步,如果A是C的-个辫子C2-交换代数,带有C的辫子C-交换X和Y子代数满足A=X+Y则[A,A][A,A]=0.最后,设H是拟三角的量子群胚,证明Cn(Ht)是一个辫子群,从而也是一个辫子李代数.
第四章,首先考察了合适的左(右)弱Hopf双模,然后利用弱Hopf双模刻画了量子群胚上的左(右)共变一阶微积分,也给出了双共变一阶微积分的刻画,得到了双共变一阶微积分与包含与Kerεs的特殊的右理想之间的一一对应关系,即建立了量子群胚上的Woronowicz微积分理论.作为应用,也给出了*-弱Hopf代数上的*-微积分的刻画.最后,也考察了Maurer-Caftan映射.
第五章,首先给出了构造乘子Hopf代数的单位余表示和正则余表示的方法,给出了乘子Hopf代数上Yetter-drinfeld模范畴之间的等价,也研究了扭曲张量余积上的RR-余表示.最后考察了交叉模与共变模上的函子,积分以及态射的性质.