概率论是从数量上研究随机现象的规律性的学科。它在自然科学、技术科学、管理科学中都有着广泛的应用,因此从上个世纪三十年代以来,发展甚为迅速,而且不断有新的分支学科涌出。概率极限理论就是其主要分支之一,也是概率统计学科中极为重要的理论基础。前苏联著名概率论学者Gnedenko和Kolmogrov曾说过:“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示,没有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义”。经典的极限理论包括中心极限定理,大数律,重对数律等等,相对于收敛性来讲,就是依分布收敛,依概率收敛,和几乎必然收敛等等。 Fridy(1985,1993)运用自然密度的定义将实数序列的极限点的概念拓广到了统计极限点的概念。本文第一章结合概率极限理论中的各种收敛性的定义,将Fridy提出的实数序列上的统计收敛的概念推广到了随机变量序列上,并给出了和a.s.收敛,依概率收敛,依分布收敛相对应的统计收敛的定义,给出了统计a.s.收敛、统计依概率收敛的充要条件或充分条件,此外还讨论了几种收敛性之间的一些关系。在第二章里,我们将实数列的统计上下确界和统计聚点的概念加以修改,定义了有限个实数列的统计上下界及统计聚点的概念,并将其应用到数理统计方面来处理样本数据。