算子半群理论是泛函分析的一个重要分支，该理论在许多实际的问题中都得到了广泛的应用.半群成为超循环和混沌以及最终范数连续在现实生活中有着广泛的应用.我们可以把生活中很多混沌和超循环的情况通过限制某些条件，使得它们变成稳定的，如白细胞在血液中的稳定性，以及癌细胞混沌状态的条件，微分方程不稳定状态的条件.那样现实中的很多问题将会变得相对简单.所以我们可以通过寻找它们成为超循环和混沌的条件，使得现实问题简单化.最终范数连续半群满足谱决定增长阶假设，这是一个与动力系统指数稳定性有关的重要性质，这些是算子半群理论领域的重要研究方向.　　本文分为两章，主要讨论某些偏微分方程的解半群成为超循环的条件和算子半群的最终范数连续性.　　在第一章中，我们讨论在Banach空间X中，偏微分方程{(e)u/(e)t=ξ(x)(e)u/(e)x+h(x)u u(0,x)=f(x)(1)的解半群成为超循环的条件，其中ξ(x)和h(x)是I上的有界连续函数，f(x)∈X.我们把Tt∈L(X)定义为Ttf(x)=u(t，x)，其中u(t，x)是方程(1)的解.那么我们把{Tt}t≥0叫做关于方程(1)在空间X上的的解半群.在文献[15]中，已经讨论了ξ(x)=-x，h(x)=1/2的情形.在文献[3]中，Fukiko就ξ(x)=c，ξ(x)=γx，(h(x)是有界的连续函数）两种不同的情形，通过引入加权函数与等距同构，给定适当的条件，使得解半群成为超循环.他的主要定理是　　定理1.2.13[3].在空间X=C0(I，(C))中，其中I=[0，∞]，limx→∞f(x)=0，‖f‖∞=supx∈I|f(x)|，我们考虑偏微分方程{(e)u/(e)t=(e)u/(e)x+h(x)u,u(0,x)=f(x)(2)其中h(x)定义在I上的连续有界的函数，{Tt}t≥0(Ttf(x)=e∫x+tzh(s)dsf(x+t)，f(x)∈X)为偏微分方程(2)在空间X上的解半群，则:当(lim)x→∞∫x0h(s)ds=∞时，{Tt}t≥0为X上的超循环半群.　　本文主要就文献[3]中的的这种情形，给出新的条件和证明方法，使解半群成为超循环半群.同时得到超循环半群的降为零.这一部分的主要定理如下.　　定理1.3.1.在空间X=C0(I，C)中，其中I=[0，∞]，limx→∞f(x）=0，‖f‖∞=supx∈I|f(x)|，我们考虑偏微分方程:{(e)u/(e)t=(e)u/(e)x+h(x)u,u(0,x)=f(x),(2)其中h(x)在I上是连续有界的复值函数，{Tt}t≥0为偏微分方程(2)在空间X上的解半群，{Ttf(x)=e∫x+txh(s)dsf(x+t)，f(x)∈X}，则:当infx∈I{Re(h(x))}＞0时，{Tt}t≥0为X上的超循环半群.　　在第二章中，我们讨论算子半群的最终范数连续性.正如[2，14]所述，最终范数连续半群满足谱决定增长阶假设，这是一个与动力系统指数稳定性有关的重要性质，所以最终范数连续的研究具有重要的现实意义.在文献[2]中我们已经知道最终范数连续比C0半群具有更多的性质，如:　　性质1.谱映象定理成立，即σ(T(t)){0}=etσ(A)其中A是T(t)的无穷小生成元，σ(A)为A的谱集([17]Theorom2.19).　　性质2.李雅谱诺夫稳定性定理成立.　　性质3.如果算子半群T(t)对t＞0范数连续，半群T(t)是紧的当且仅当预解算子R（λ，A)是紧的.　　由于上述原因，算子半群的最终范数连续性引起了众多数学家和学者的关注.1983年，Pazy指出“到目前还没有已知的通过算子A或A的预解式R(μ，A)表达的充要条件保证T(t)当t＞0时按一致算子拓扑连续”.1992年，P.You[16]证明了在Hilbert空间中一个算子半群对t＞0范数连续的充要条件是其无穷小生成元的预解式沿某垂直线趋于零.1996年，Blasco和Martinez[11]给出了Hilbert空间最终范数连续半群的一个特征.即如下定理.　　定理2.2.6[11].设A是Hilbert空间上的C0半群T(t)的生成元，满足‖T（t)‖≤Me-t.则下面结论是等价的.　　(1)存在t0＞0，T(t)对t＞t0范数连续.　　(2)(E)C＞0，使得limsup|s|→∞‖n!Rn(is,A)‖1/n≤C,(V)n∈N.　　(3)(E)t0＞0使得limn→∞ρn/tn0=0，其中ρn=limsupk→∞,‖x‖≤1,‖y‖≤1∫|s|＞k（n+1)!|(Rn+2(is,A)x,y)|ds.　　本章在Blasco和Martinez[11]研究的基础上，继续讨论Hilbert空间上算子半群最终范数连续性成立的条件，并给出如下定理.　　定理2.3.1.设T(t)是Hilbert空间中由A生成的C0半群，满足‖T(t)‖≤Me-t.那么，下列论述等价.　　(i)存在t0≥0使得T(t)对t＞t0范数连续.　　(ii)limsupn→∞limsup|s|→+∞‖n!Rn（is;A)‖1/n≤t0.