【摘 要】
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在研究流体的流动问题时,一般假设流体为不可压缩流,且当流体的流动与时间无关时,此时的不可压缩流称为定常不可压缩流。在流体问题中,定常Stokes方程是一个至关重要的模型,研究其数值离散方法对于理解和认识不可压缩流具有重要意义。本文考虑了定常不可压缩Stokes方程及其特征值问题,建立了相应的数值算法,并进行了数值计算和分析。主要研究内容包括两部分:（1）针对Stokes问题,首先描述了所要研究问题
【基金项目】
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国家自然科学基金面上项目:弹性壳体静力学虚拟元方法研究（No.11971379）； 陕西省青年拔尖人才项目:计算弹性壳体；
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在研究流体的流动问题时,一般假设流体为不可压缩流,且当流体的流动与时间无关时,此时的不可压缩流称为定常不可压缩流。在流体问题中,定常Stokes方程是一个至关重要的模型,研究其数值离散方法对于理解和认识不可压缩流具有重要意义。本文考虑了定常不可压缩Stokes方程及其特征值问题,建立了相应的数值算法,并进行了数值计算和分析。主要研究内容包括两部分:（1）针对Stokes问题,首先描述了所要研究问题的模型,然后分别基于低阶元P1/P0元、P1/P1元对方程进行离散,得到了求解Stokes方程的经典Galerkin有限元方法。然而低阶元是不稳定的,它不满足inf-sup条件,导致格式不稳定,为了避开这一限制,我们对方程进行多尺度有限元逼近,得到其稳定化方法,该方法得到的稳定项只包含了跨越单元边界的跳跃项,并且其稳定化参数可以准确求出来;接下来,我们基于引入的对偶剖分推导出了 Stokes方程的有限体积元方法,并与上述稳定化方法相结合,即得到了多尺度稳定化有限体积元方法。最后,我们证明了数值解的存在性、唯一性,在算法收敛性分析中,分别给出了速度、压力的最优收敛阶。（2）针对Stokes特征值问题,本文将基于P1/P1元求解Stokes方程的多尺度稳定化有限元方法应用于Stokes特征值问题中,并给出了稳定化方法的收敛性;然后将所得到的稳定化方法与两重网格方法相结合来求解Stokes特征值问题。其中,多尺度有限元方法作为一种稳定化方法,处理了最低等阶有限元对的不稳定性,两重网格方法的使用使得计算时间大幅减少,提高了求解效率。此外,我们证明了新方法的先验误差估计,并通过数值实验验证了两重网格方法相对于单层网格方法的的优越性,证明了该数值算法是稳定的、有效的。
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