本文就对泛函微分方程的分支理论进行系统阐述和研究主要从分支角度来考察时滞对系统的稳定性、周期及其它动力学行为的影响.本文的研究成果主要集中在以下两方面:(一)理论方面在本文中,我们对一般三介指数多项式方程λ<3>+α<,2>λ<2>+α<,1>λ+αo+(b<,2>λ<2>+b<,1>λ+bo)<,e><-λτ>=0进行了全面分析推广了已有结果.这个研究成果为我们进一步研究三维时滞系统奠定了基础.另外,本文还介绍了泛函微分方程的象空间分解理论、中心流形理论、规范型理论、局部Hopf分支和全局Hopf分支理论等.(二)应用方面在本文中,从分支角度对几个具有实际应用背景的数学模型进行了细致的分析,考察了时滞对这些系统的动力学行为的影响.在§2.5和§2.6小节中,我们分别研究了具时滞的BAM神经网络模型和反馈控制Logistic模型的稳定性和Hopf分支.一方面,我们考察了时滞对稳定性的影响以及由时滞诱导的Hopf分支,另一方面,我们利用中心流行规范型理论对Hopf分支性质进行了细致的分析,明确地给出了确定Hopf分支方向、分支周期解的稳定性、周期的计算公式.在§2.7小节中,我们研究了具时滞反馈控制的陈系统,通过对平衡点的稳定性和Hopf分支分析以及数值模拟,我们发现随着时滞的变化混沌现象可以消失也可以重新出现.在§3.3和§3.4小节中,我们主要研究两个经典的生物学模型的全局Hopf分支,把在临界点的小邻域内存在周期解的局部结果延拓到更大的范围内.例如,在§3.3小节,我们研究了具时滞的红细胞再生模型dx/dt=x(t)[q/r+x(t-т)-p],t≥0(0.01)其中p、q、r、т∈(0,∞),n∈N={1,2…}.局部Hopf分支分析表明,当q>pr,т=т<,k>(k=0,1,2,…)时方程(0.01)在正平衡点x<,*>=[q/p-r]<1/n>附近经历Hopf分支,其中т<,k>=1/α(2kπ+π/2).而全局Hopf分支分析表明,当q>pr,т>т<,k>(k≥1)时,方程(0.01)至少有k个周期解.另外,在本文中还介绍了本领域的最新研究成果和期待解决的一些问题.