指数型不定方程ax+by =cz,其中a,b,c为正整数,特别地当a,b,c取商高数组时,这便是数论领域中最典型的一类不定方程。由于该类不定方程与编码理论、群论以及组合论都有着紧密的联系,因此一直以来都备受广大数学爱好者的青睐,但迄今为止这类不定方程还未得到彻底的解决。本文主要运用简单同余、二次剩余以及四次剩余特征理论,对不定方程(a2-a2)x+(2ab)y=(a2+b2)z 的Jesmanowicz猜想的一些特殊情况进行研究,得到如下结论:对a-b = m,(m≡7(mod8))的情形,b=n,且m|n,则当下列条件之一成立时,Jesmanowicz猜想成立.(Ⅰ)n ≡ 3(mod 4),且有素数 p ≡ 5(mod 8),使得 p |(2n(n + m)+ m2)且(2n+m/P)=1;(Ⅱ)n ≡ 0(mod16);(Ⅲ)n ≡ 9(mod16),且有素数p≡5(mod8),使得 p|(2n + m);(Ⅳ)n ≡ 2(mod4),n + m不含4k + 1形素因子;特别地,当m = 7时,上述结论成立。对a-b = m(m≡3(mod8))的情形,b二n,且m|n,则下列条件之一成立时,Jesmanowicz猜想成立.(Ⅰ)n≡3(mod8),m ≡ 3(mod16),且2n + m具有模p(?)1(mod16)的素因子;(Ⅱ)n≡7(mod8),m 三 11(mod16),且2n + m具有模p(?)1(mod16)的素因子;(Ⅲ)n ≡ 9(mod16),m = 3(mod8);(Ⅳ)n ≡ 1(mod16),m = 3(mod8),且m(2n + m)不含 4k +1 的素因子.对a-b = m,(m≡5(mod8))的情形,b = 且m| n,则下列条件之一成立时,Jesmanowicz猜想成立.(Ⅰ)n ≡ 2(mod8),m ≡ 5(mod16),且2n + m具有模p(?)1(mod16)的素因子;(Ⅱ)n ≡ 6(mod8),m ≡ 13(mod16),且2n + m具有模(?)1(mod16)的素因子;(Ⅲ)n ≡ 4(mod16),m = 5(mod16);