本文共分成三章。在第一章里，我们讨论了在曲率渐近非负的完备非紧黎曼流形上的一些性质；第二章，我们证明了全纯双截曲率渐近非负的完备非紧K hler流形，若其有一极，则其为Stein流形；第三章，我们考虑的是调和映照的正则性和L<2>特征形式的不存在性。 在第一章里，我们讨论了在曲率渐近非负的完备非紧黎曼流形上的一些性质，这是因为曲率非负或Ricci曲率非负流形的性质，我们知道的很多，比如，七十年代中期，S.T.Yau利用梯度估计的方法证明了下面著名的定理：具有非负Ricci曲率的、完备的、非紧的Riemann流形上必不存在非平凡的正调和函数。 后来，Cheng发现此定理对次线性增长的调和函数也成立；因而，S.T.Yau猜测：在Ricci曲率非负的完备非紧Riemann流形上，如果其调和函数是对一固定指数的多项式增长，那么由这些调和函数所组成的空间的维数为有限维的。 此猜想直到最近才由T.H.Colding和W.P.MinicozziⅡ在[1]中证明。而本文考虑的是在曲率渐近非负的条件下，有与曲率非负的相似的性质，这在某种程度上弱化了曲率条件。 设M是曲率渐近非负的完备非紧流形。首先，我们给出曲率渐近非负和Ricci曲率渐近非负的定义：流形M的曲率渐近非负(Ricci曲率渐近非负)是指K<,M>(X)≥λ(r(X))(Ricci(x)≥λ(r(X))，这里λ(·)是定义在[O,∞】上非增非负函数，且∫<,o><+∞>rλ(r)dr＜+∞（∫<,o><+∞>rλ(r)dr＜+∞），这里r(x)＝dist(P,X)，p为M上的固定点。 而且，曲率渐近非负流形的性质一直有人研究，比如： Greene和Wu在[2]中证明了：设M为曲率非正且渐近非负的单连通完备非紧流形，则其上不存在非平凡的正调和函数。 A.Kasue在[3]中证明了：如果M为曲率渐近非负流形，则大端的个数等于有界调和函数空间的维数；此外，(1)如果只有小端，则正调和函数为常数；(2)如果只有大端，则正调和函数空间的维数等于有界调和函数空间的维数；(3)如果至少有一大端和一小端，则正调和函数空间的维数等于端的个数。 Li和Tam在【4】中证明了：如果M的Ricci曲率 ，而且满足V<,p>(R)≤CV<,x>( )，这里x∈ B<,p>(R)，则M是非抛物的充分必要条件为M有大端。 后来，Holopainen和Koskela在【5】中证明了：如果M的Ricci曲率 ，则M是非抛物的充分必要条件为M有大端。 我们得到的一些结果为 定理：设M为曲率渐近非负的完备非紧流形，则其上不存在非平凡的正调和函数。 推论：设M为曲率渐近非负的完备非紧流形，若其上存在大端，则只有一个大端，而且为非抛物的。 定理：设M为曲率渐近非负的完备非紧流形，如果其调和函数是对一固定指数d的多项式增长，那么由这些调和函数所组成的空间的维数≤Cd>，这里C，C<,D>都为常数。 定理：设M为Ricci曲率渐近非负的完备非紧流形，则M的体积为无穷大，所以当g∈(O，+∞)时，f∈L(M)且为非负次调和函数，则f≡O。 在第二章中，我们考虑的是，在什么条件下，流形是Stein流形。 最近Ni和Tam［15］证明了：如果M是一完备非紧K hler流形，且其全纯双截曲率非负。假设M有一极。那么M是Stein流形。 现在我们用初等的方法来改进上述定理，即： 定理：如果M是一个具有极p的完备非紧K hler流形，且其全纯双截曲率关于p是渐近非负的，那么它是Stein流形。 在第三章里，我们首先考虑的是调和映照的正则性。物理学家【17】首先证明了从R(n≥3)到球面的具有有限能量的任何调和映照必为常数。Eells和Lemaire指出此定理对所有象流形都成立。后来Sealey【18】证明了目标流形可以是R和 H(n≥3)。Xin【19】曾证明：假设M是一完备单连通Rieman流形，其截曲率K满足，这里是一常数，O是一固定点。令f是从M到任何Rieman流形N的能量慢发散的调和映照。如果M的维数大于2，那么f必为常映照。 下面我们将证明在某种程度上非正径向截曲率未必是必须的，即 定理：假设M<,n>是一n维的有极X<,0>的完备非紧黎曼流形，其径向截曲率K，满足或者(ii)这里所有的r>0 如果f是从M到任何Rieman流形N的能量慢发散的调和映照，那么f必为常映照。 最后，我们考虑L<2>特征形式的不存在性。Escobar和Freire[20]曾证明了：令M是一极为x<,0>的n(n≥3)维流形，其径向截曲率非负。取定整数O≤P≤n。假设在M-X<,0>，径向截曲率满足,这里和r表示到X<,0>的距离。那么对于λ>0，不存在满足△<,P>u-λu=0的p一形式u∈dom(A<,P>) L<2>Ω

(M)。 下面我们改进上述定理，即 定理：令M是一极为X<,0>的n(n≥3)维流形。固定整数0≤P≤n。假设在M—x<,0>上，径向截曲率满足这里， 当p≥l时，Сλr表示到x<,0>的距离。那么对于>0，不存在满足△<,p>u- u=0的p<->形式μ∈dom(<△,p>) L<2>Ω

(M)。