【摘 要】
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下降算法是求解无约束光滑问题的重要方法之一.当目标函数是几个光滑函数的和时,我们称它为可分离函数.对于可分离光滑优化问题,一些学者提出并研究了增量梯度算法.增量梯度算法每次以一个分量函数的负梯度方向为迭代方向,这样可以降低每次迭代的计算量.据我们了解,目前关于增量梯度算法的研究主要是采用发散步长准则和采用常值步长准则.其中采用常值步长的算法只适用于一类特殊的目标函数;而采用发散步长的增量梯度算法收
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下降算法是求解无约束光滑问题的重要方法之一.当目标函数是几个光滑函数的和时,我们称它为可分离函数.对于可分离光滑优化问题,一些学者提出并研究了增量梯度算法.增量梯度算法每次以一个分量函数的负梯度方向为迭代方向,这样可以降低每次迭代的计算量.据我们了解,目前关于增量梯度算法的研究主要是采用发散步长准则和采用常值步长准则.其中采用常值步长的算法只适用于一类特殊的目标函数;而采用发散步长的增量梯度算法收敛效率不太理想.本文主要研究可分离光滑优化问题的数值算法.第一部分研究结果是结合下降算法和增量梯度算法的思想,提出一种特殊的下降算法――分裂梯度法.分裂梯度法依次考虑一个分量函数的负梯度方向.当这一方向是下降方向时,选择它为下一步迭代方向;否则考虑整个函数.与一般的下降算法收敛性类似,我们分析了算法的收敛性.数值例子表明,分裂梯度算法比最速下降算法更有效,比随机梯度算法更稳定.第二部分研究结果主要是提出新的增量梯度算法.受文献[Blatt D,Hero A,Gauchman H.SIAM J.Optim.,29-51,2007]和[Bertsekas D P,Tsitsikils J N.SIAM J.Optim.,627-642,2000]的启发,分别提出了采用发散步长的增量聚合梯度算法和单位化增量梯度算法,并证明了这两类算法的收敛性.最后通过数值例子比较了这两种算法和已有(没有单位化的)增量梯度算法,数值结果表明论文提出的增量聚合梯度算法通常比已有的增量梯度算法更有效,而单位化增量梯度算法通常比增量聚合梯度算法更有效.
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