本论文研究了平均曲率流的自相似解和一类逆平均曲率流,以及球面中极小超曲面的第二空隙。几何发展方程是研究数学问题的强有力工具,近几十年来受到了越来越多的关注。平均曲率流差不多是子流形几何中最为重要的几何流。平均曲率流中最为重要的问题之一是研究这个流可能出现的奇点。自相似解不仅与平均曲率流的奇点有密切的联系,而且是一类重要的子流形。我们广泛研究了平均曲率流的自收缩解,得到了它们的一些几何和分析的性质。通过给定无穷远处的边界值,我们在闵可夫斯基空间中构造了很多个整体光滑凸的严格类空平移解。球面中的极小子流形是微分几何中一个优美而重要的课题,它们自然的联系着欧氏空间中的极小锥。由Chern-do Carmo-Kobayashi提出的一个公开问题是研究球面中极小超曲面数量曲率的空隙。近来,我们在不要求常数量曲率的假设下,对所有维数证明了第二空隙的存在性。本文的结构安排如下。在第一章,首先我们回忆了平均曲率流的历史和现状,以及自收缩解是如何由平均曲率流的奇点所引起的。自相似解的研究对平均曲率流的奇点的了解起到关键的作用。其次,我们讨论了逆平均曲率流,它是研究微分几何和广义相对论中数学问题的重要工具。最后,我们探讨了陈省身关于极小超曲面的刚性问题。在第二章,为了便于讨论,我们引入了子流形几何的基本语言和符号。我们陈述了自收缩解以及平移解方面已知的工作和我们的研究结果。总共花了3章(第三章到第五章)来叙述我们在自收缩解方面的系列工作。我们给出了关于子流形的第二基本型方面的一些熟知的公式。特别的,对在欧氏空间以及伪欧氏空间中可以表示为图的包括拉格朗日情形在内的自收缩解作了仔细的讨论。在第三章,我们研究了任意余维数的自收缩解。同欧氏空间中极小子流形完全不一样的是,逆紧的非紧的自收缩解有下面最优的体积增长估计。定理1.([50])任意一个浸入在Rn+m中的完备非紧的逆紧的自收缩解M都有至多欧氏体积增长.即存在一个仅依赖于n和M∩B8n的体积的常数C,使得对任意r≥1有假定自收缩解可以表示成向量值函数u的图,我们能够证明u有线性增长。定理2.(48)设M={(x,u(x))|x∈Rn}是Rn+m中可表示为整体图的自收缩解且u(x)=(u1(x),…,um(x)),则其中x∈Rn及我们导出了一个自收缩解版本的Ruh-Vilms型定理：自收缩解的高斯映照是带权的调和映照。通过对第二基本型仔细的分析,可以得到自收缩解的Bernstein型定理,其所要求的条件比极小的情形要稍弱一点。借助Sobolev不等式,我们证明了一个关于高余维的自收缩解的第二基本型的模长范数的刚性定理。在第四章,我们重点研究了拉格朗日的自收缩解,即它既是拉格朗日子流形又是自收缩解。通过积分的办法,我们证明了具有不定度量的伪欧氏空间Rn2n中拉格朗日平均曲率流的可表示为整图的类空自收缩解一定是平坦的。定理3.([52])方程在Rn上的任意整体光滑凸解是二次多项式u(0)+{(D2u(0)x,x).这个结果去掉了[78]和[22]中额外的条件,从而完善了他们的结果。利用相同的方式,我们再次证明了[22]中建立的欧氏空间的对应情形。在第五章,我们探讨了欧氏空间中的自收缩超曲面。我们利用[49]中类似的想法,研究了自收缩解的第二基本型的模长范数的第二空隙。定理4.([51])假设Mn是浸入在Rn+1中的完备逆紧的自收缩解,其第二基本型记为B,那么存在一个正数δ=0.011使得如果1/2≤|B|2≤1/2+δ,那么|B|2≡1/2通过比较Hoffeman-Osserman-Schoen[76]关于R3中常平均曲率曲面的著名结果,我们对自收缩解证明了相应的部分。定理5.([53])设M是浸入在Rn+1中的完备逆紧的自收缩超曲面.如果Gauss映照的像被包含在一个开半球里面,那么M是超平面.如果Gauss映照的像被包含在一个闭半球里面,那么M是超平面或者是Rn中(n-1)-维的自收缩解与R的乘积.记n-1维的上半开球s+n-1={(x1,…,xn)∈Rn|x12+…+xn2=1,xn>0}.使用由Jost-Xin-Yang[92]所研究的球面凸几何的技术,我们得到了下面这个关于高斯像的范围的最优的刚性定理。定理6.([53])设Mn浸入在Rn+1中的完备逆紧的自收缩超曲面.如果Gauss映照的像包含在Sn\S+n-1中,那么M不得不是超平面.给定一个非负的整数9和常数D>0,令Sg,D表示所有具有亏格不超过g直径不超过D的紧嵌入在R3中的自收缩解.通过估计自收缩解L算子的第一特征值的下界,在没有有界熵条件下,2维的紧嵌入自收缩解也存在紧性定理。定理7.([50])对固定的g和D,空间Sg,D是紧的.即Sg,D中任意序列有子序列在Ck(任意k≥0)拓扑意义下一致收敛到Sg,D中某个曲面.在R3里面,第二基本型的模长范数是常数时,自收缩曲面可以被分类。在第六章,我们研究了闵可夫斯基空间中平均曲率流的整体类空平移解。通过计算第二基本型,我们能够懂得平移解的有界下水平集的凸性。那么在光滑有界凸区域上的一类狄利克雷问题是可解的。设Q是包含所有的齐一次的凸函数且该函数的梯度存在时其模长为1的集合。通过在不同的凸区域上构造一系列凸解,我们能够得到：定理8.([47])果V∈Q且V不是一个线性函数,那么方程在Rn上一定有一个光滑凸的严格类空整体解u,使得u blow down到V,即对Vx∈Rn成立在第七章,我们探讨了某些旋转对称空间中从闭的星型超曲面出发的逆平均曲率流。定理9.([46])设N是一个(n+1)-维的具有非正截面曲率的旋转对称空间,考虑嵌入映照X0:Sn→N,且M0=X0(Sn)是一张光滑闭具有正平均曲率的星型超曲面.那么从M0出发的逆平均曲率流X=1/Hν有长时间光滑解.此外情形1.如果N有欧氏体积增长,那么拉伸后的曲面X(t)=e-t/nX(t)收敛到一个唯一的球.情形2.如果N是双曲空间,那么拉伸后的曲面X(t)=n/tX(t)收敛到一个唯一的具有半径为1的球.在第八章,我们考虑了球面中极小超曲面的数量曲率的第二空隙问题,它由Chern-do Carmo-Kobayashi [35]所提出。Peng-Terng在[118]和[119]中首先研究了这个问题。他们证明了球面中具有常数量曲率的极小超曲面在任意维数都存在第二空隙,以及对不需要有常数量曲率假设的极小超曲面在低维存在第二空隙。此后关于这个问题有很多的工作。最近,我们肯定了球面中不需要有常数量曲率假设的极小超曲面在任意维数都存在第二空隙[49],并且当维数n≥6时得到了具体的拼挤常数,这些拼挤常数当n≥7时优于之前的所有结果。定理10.([49])设M是单位球面Sn+1中的紧致的极小超曲面,s是它的第二基本型模长的平方.那么存在一个仅依赖于n的正常数δ(n),使得如果n≤s≤n+δ(n),那么S≡n,也就是说M是一个Clifford极小超曲面。当维数n≥6时,拼挤常数δ(n)=n/(23).