【摘 要】
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本文主要针对两类二维非线性Sobolev方程,推导了求解该类问题的高阶紧致差分格式,并对相应的数值格式进行理论分析,最后数值算例证实了相应的理论结果.本文主要由以下几部分组成:第一章,介绍了Sobolev方程的研究背景、意义以及国内外的研究现状.第二章,考虑的是二维半线性Sobolev方程的Dirichlet初边值问题,对其建立了两种线性化的差分格式,并进行了理论分析和数值实验.二层牛顿线性化紧致
【基金项目】
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国家自然基金（批准号11501514）； 浙江省自然科学基金（批准号ly19A010026）； 浙江省“育才”工程项目（批准号2019Ycg012）； 浙江理工大学基本业务费用（批准号2019Q072）；
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本文主要针对两类二维非线性Sobolev方程,推导了求解该类问题的高阶紧致差分格式,并对相应的数值格式进行理论分析,最后数值算例证实了相应的理论结果.本文主要由以下几部分组成:第一章,介绍了Sobolev方程的研究背景、意义以及国内外的研究现状.第二章,考虑的是二维半线性Sobolev方程的Dirichlet初边值问题,对其建立了两种线性化的差分格式,并进行了理论分析和数值实验.二层牛顿线性化紧致差分格式的构造是在已有文献的基础上,使用带积分型余项的泰勒展开重新推导的.对于非线性项的处理使用的是牛顿线性化技巧.本章使用能量分析方法详细地证明了二层牛顿线性化紧致差分格式在最大范数意义下的收敛性以及在时间和空间上的收敛阶分别是二阶和四阶.在第二个差分格式的构造中时间方向使用了三层线性化技巧,第一层数值解使用的是二层牛顿线性化紧致差分格式,证明了三层线性化紧致差分格式的唯一可解性以及在二范数和最大范数意义下的收敛性,收敛阶为（?）（τ~2+h1~4+h2~4）.最后,数值实验验证了两种格式的精度和收敛阶.第三章,考虑的是二维拟线性的Sobolev方程的周期初边值问题,使用空间三点四阶紧算子对非线性项进行逼近,并且基于降阶法和三层线性化技巧,详细地推导了一个三层线性化紧致差分格式.通过能量分析方法,证明了所建立格式的唯一可解性和在二范数意义下的收敛性,收敛阶为（?）（τ~2+h1~4+h2~4）.本章的技巧可以直接延拓到二维Benjamin-Bona-Mahony-Burgers（BBMB）方程的数值求解.最后,为了展示所建立格式的精度优势,本章分别将两类方程的四阶紧致差分格式与其二阶差分格式进行对比,数值结果证实了本章数值格式的优越性.第四章,对本文的研究内容和创新点进行总结,并指出下一步的研究方向.
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