随着现代社会的发展,人们在进行工程结构设计时需要考虑的因素越来越多。设计者除了关心结构的服役性能和安全性之外,还要综合考虑自重、造价等经济性指标。这使得工程结构设计的难度越来越大。结构优化设计特别是拓扑优化,提供了一种可以帮助工程师获得创新设计的理论工具,近年来受到了研究者的广泛重视。框架结构是工程上一类常用的承载结构。对于此类结构而言,其动力特性(如基频等)在很多情况下是进行相关结构设计时需要着重考虑的因素。大量研究表明：框架结构中结构单元间的连接方式(即结构拓扑)对其动力特性有决定性影响。因此采用拓扑优化方法对框架结构的拓扑布局进行优化设计可以非常有效地改善其动力性能。以往有关框架结构动力性能拓扑优化的研究工作大多是在基结构方法的框架下,侧重于构造求解较大规模问题的数值方法,对问题的力学、数学本质特性关注不够。这导致了数值算法或仅能得到并非最优的结构拓扑(而且往往不能通过改变初始设计而得到改善!),或根本无法收敛。我们认为造成这种局面的一个重要原因在于对此类问题可行域的形状、最优解特性等基本问题缺乏深刻的理论分析。事实上,考虑框架结构动力性能时,其拓扑优化与尺寸优化在问题特性上有本质不同。盲目套用尺寸优化方法并通过设计变量退化策略来解决此类问题往往是不能奏效的。基于上述认识,本文针对框架结构动力性能拓扑优化中的若干基本问题,如可行域的连通性、可行域在低维子域附近的退化性质／奇异性质、最优解的对称性质等开展了相关研究。论文工作取得了如下主要成果：(1)解析地揭示了频带约束下框架结构拓扑优化问题可行域的本质性态。基于精确动力刚度矩阵以及W-W(Williams-Wittrick)算法,深入分析了以梁断面积为设计变量时框架结构受到频带约束的可行域形状。研究结果表明：所研究问题的可行域可能由多个孤立的不连通子域组成。对于拓扑优化问题,往往还包含退化的低维子域。可行域的上述特性给寻找可行解以及构造基于梯度信息的优化算法带来了极大困难。因此需要发展有效处理此类问题的特殊方法。(2)揭示了基频约束下框架结构拓扑优化问题中所蕴含的强奇异性现象。在深入剖析问题数学本质的基础上,发展了能够有效处理此类强奇异性问题的优化列式。基于恢复优化问题约束函数连续性的基本思想,构造了搜寻问题强奇异最优解的PLMP(PoLynomial Material interPolation)算法,从而为采用基结构方法处理此类问题指出了一条可行的途径。(3)对具有对称性的框架结构基频约束下拓扑优化问题中出现的反直观现象：存在非对称的全局最优解给出了统一的理论解释。在此基础上给出了保证更广泛一类对称性拓扑优化问题一定存在对称全局最优解的充分条件,从而较完整地回答了著名学者Rozvany教授2011年提出的一个公开问题——对称结构优化问题何时存在对称的全局最优解?。