经典的小波理论尽管在90年代初期已经显得非常完善,但那主要是集中在希尔伯特空间中。然而,在实际应用中仍然存在着许多的缺陷,如小波变换后截断的能量损失较大,尺度函数和小波函数的光滑性不够,消失矩的阶计算难度大,近似阶难以估计等问题,更主要的是在希尔伯特空间中构造的小波难以同时具有多种良好的性质。这就需要我们在具有优良性质的Sobolev空间中来完善小波理论,进而,使得所构造出来的框架或小波基同时具有多种良好的性质。　　针对上述问题,本文利用希尔伯特空间中经典的小波变换理论,多尺度分析及小波构造理论,Riesz基理论及1996年Albert Cohen和Nira Dyn提出的非平稳的尺度函数理论对Sobolev空间中的小波理论进行了一些研究。本文所做的工作有:　　1、简要地介绍了小波分析的发展历史,回顾了传统小波中的经典理论,如多尺度分析,由尺度函数构造小波函数,Mallat算法及函数空间的小波表示等理论。　　2、对Sobolev空间上一些特殊小波进行研究。如第三章简介了Sobolev空间上一些特征性质,研究了一类广义小波的消失矩性质,给出了这类广义小波消失矩判别的一般理论和方法。第四章是在此基础上,研究了两类具有多种良好性质的B-样条小波,并讨论其具体的性质。　　3、系统地研究了Sobolev空间上一紧支撑的函数经整数平移形成的序列的性质及其上的整平移Riesz基。这些内容主要集中在第五章。　　4、在以上工作的基础上,利用非平稳的尺度函数序列建立了Sobolev空间中非平稳的多尺度分析,并结合施密特(Schimidt)正交化思想,讨论了Sobolev空间上的Riesz基和预小波,这也是第六章的主要内容。