在信号处理领域，稀疏表示理论及其方法逐渐成为备受关注的课题，并对信号处理和分析产生了极为重要的影响。目前稀疏表示已被广泛地应用到图像处理、模式识别和自动控制等领域。在利用稀疏表示理论解决信号处理问题时，求稀疏解是其中的一个关键问题。在数学上可以利用e₀范数最小化来求解。然而，由于e₀范数的非凸特性，使得直接求解非常困难。实际应用中，一种有效的方法是利用e₁范数来求近似最稀疏解，因为e₁范数最小化是一种凸优化形式，它有唯一的全局最优解。本文以e₁范数最小化及其快速算法为核心，主要做了以下几个方面的工作：第一，比较了e₀、 e_p（0<p <1）和e₁范数求稀疏解的三种方法；重点介绍e₁范数最小化求稀疏解的两类求解算法，包括原对偶内点法和迭代收缩算法，并将其应用于基于稀疏表示方法的脑电信号分类中。实验结果表明，在相对较多训练样本条件下，两种算法均能达到较高的分类准确率，然而迭代收缩算法相对于原对偶内点法具有较低的计算复杂度；第二，对e₁范数最小化进行了扩展，提出一种混合e₁-e₂范数最小化模型以及基于迭代收缩的快速求解算法，并分析了算法复杂度、提出了一种算法的硬件实现方法；第三，将混合e₁-e₂范数最小化模型应用于光纤通信系统中的光信号功率实时监测中，利用光信号功率谱的稀疏特性和光滑特性建模并求解。实验结果表明它能够实现光功率准确实时的监测；第四，将混合e₁-e₂范数最小化模型应用于脑电信号分类的字典学习中，以提高分类准确率的同时减小计算复杂度。该方法利用训练样本的稀疏表示系数的稀疏特性与类别特性建模并求解，得到一个尺寸较小且有较好的判别性能的字典，再利用稀疏表示分类方法进行分类。实验结果表明这一方法能够较大程度地提高稀疏表示分类方法的分类准确率，同时减小分类算法的计算复杂度。