在第一章中，我们给出这篇论文的综述.我们主要研究四个问题:Sobolev不等式与Φ-熵下的指数收敛性，一维扩散半群在Wasserstein度量W1下的指数收敛性，图上的Ricci曲率下界和马氏过程指数收敛速度，扩散过程及其不变测度的跳过程逼近.对每一个研究的问题，我们介绍问题的起源和已知结果，研究问题的主要工具和思想，并给出了研究的主要结果.这一章是为了方便读者阅读而写的.　　在第二章中，我们研究Sobolev不等式.我们发现对任意的p≥0，中心化Sobolev不等式等价于马氏扩散半群（Pt）依某个Φ-熵趋近于不变测度μ的指数收敛性.我们给出了在全变差范数下的指数收敛速度估计，且证明了在测度有界变换下，Sobolev不等式仍成立.最后在一维情形中，我们由广义Hardy不等式给出了当p＞2时，Sobolev不等式最优常数的一个双边估计.　　在第三章中，我们在没有任何耗散条件下，找到了一维扩散半群（Pt）的指数收敛性W1，d(Pt(x，·)，Pt(y，·))≤Ke-δtd（x，y）成立的一个非常一般的充分条件.此外，我们给出了相关常数K≥1，δ＞0的精准估计.我们给出了很多例子来说明我们的结果，并且我们的结果可以应用于Bakry-Emery曲率无下界的情况.　　在第四章中，我们用耦合算子的方法，研究了图上连续时间跳过程在Wasserstein度量意义下的Ricci曲率下界.甚至在图度量的Ricci曲率下界为负的情况下，我们通过与N上的某个生灭过程的比较定理，得到了指数收敛速度.在图度量Ricci曲率非负的情况下，我们还得到了关于谱隙λ1的类似钟家庆-杨洪苍的估计的结果.更进一步，我们对W1度量下的指数收敛性给出了一个非常实用的Lyapunov准则，并且对乘积图上的高维Glauber系统，给出了一个动力系统版本的Dobrushin唯一性条件或者Dubrushin-Shlosman解析性条件，用来得到W1度量下的指数收敛速度估计.　　在第五章中，我们在Rd上给出了一个新的数值算法来逼近随机微分方程:dXt=σ(Xt)dBt+b(Xt)出，其中系数σ,b没有线性增长条件.此情况下，经典的Euler-Maruyama算法对其收敛性是不适用的.我们的算法是构造跳过程（X(δ)t），其生成算子为L(δ).对这个新的算子，我们引入了两个窗宽尺度函数s0(x)，s(x)＞0，并且根据b(x)和σ(x)的收敛速度来选取s0(x)，s(x).这个算法可以由跳过程的理论轻易实现.我们证明了在Lyapunov函数条件下，在D（[0，T]，Rd）上，X(δ)依分布收敛到X.这说明了我们的算法更具一般性且解除了线性增长条件的限制.更进一步，我们用1/n∑nk=11/T∫Tc+TT0g（X(δ,k)t）dt，其中X(δ，k)是X(δ)的独立同分布的副本，给出了关于唯一的概率不变测度μ的一些量的估计.这一结果推广了Mattingly,Stuart和Tretyakov在（紧）环上用Euler-Maruyama算法得到的结果.通过D.Talay和C.Villani建立的关于高阶导的指数收敛性结果，我们对于近似不变概率测度的估计在超线性增长条件或者次椭圆随机Hamilton系统下可用.