摆振是一种自激振动,可以发生在例如飞机起落架、汽车、摩托车、拖车、超市手推车等各种轮式机械结构上。车辆摆振,表现为前轮绕主销的持续性振动,它不仅会增加轮胎磨损、影响车辆的操纵性,还可能导致进一步的稳定性问题、甚至引发危险。摆振发生的原因可以归结为两点:轮胎和路面接触的动力学特性、以及系统的整体结构,而轮胎模型的选择在研究过程中就显得尤为重要——这是其一。对车辆摆振的研究,一般考虑汽车前轮、转向系统、以及悬架的影响;从早期的线性模型逐渐过渡到后来的考虑轮胎弹性、转向系间隙、或干摩擦等非线性因素的模型;研究重心则主要集中在建立不同机构的物理和数学模型(或多体动力学模型)、考察系统各个参数或非线性因素对摆振的影响、以及摆振的控制和减振器(主动和被动)的使用。当然,也有文献着眼于汽车-拖车组合的摆振,但由于建模中未考虑汽车转向系,仍可归类于拖车摆振的拓展研究。随着电动汽车的推广,尤其是对于轮毂电机(或轮边电机)四轮独立驱动的电动汽车,则引出了新的问题:这种新的汽车构造,比如轮毂电机的引入导致的簧下质量增大对摆振有什么影响?由于四轮独立驱动电动汽车结构的灵活性、电机响应的快速性,相关的大量研究都集中在复杂的控制上,而一般控制策略的制定在其动力学模型搭建时都不考虑摆振,那么实际车辆在控制过程中的机电耦合是否会引发摆振?为了回答这些问题,首先需要一个可靠的动力学模型——这是其二。针对以上提到的两个方面,本文对比了不同的轮胎模型(配合不同的侧向形变假设)在车辆摆振的稳定性分析中的优缺点;建立了针对独立悬架汽车的摆振模型、并考察了不同参数对稳定性的影响;此外,将能量分布的方法引入摆振的研究,为摆振的控制提供了参考。本文用到了两种轮胎模型:Pacejka的魔术公式(Pacejka,2006)和时滞轮胎模型(Takacs,Orosz,and Stepan,2009;Takacs,2010;Takacs and Stepan,2012)。这两种轮胎模型有着截然不同的假设:Pacejka将轮胎与地面的接触线在空间进行线性化(直切线假设,straight tangent assumption),时滞轮胎模型则考虑线性的时域,而不限制轮胎在空间内侧向位移的形状。对魔术公式而言,轮胎力非线性特性的理论基础来自于轮胎接地印记的后部,当轮胎出现局部滑移的时候。而在小侧偏角的假设下,轮胎后部滑移则可以忽略。针对大的轮胎侧向变形,时滞轮胎模型在时间和空间上都将保持非线性,但这不在本研究的考虑范围之内,相关的初步结果详见(Beregi and Takacs,2017;Beregi,Takacs,and Barton,2017)。从另外一个角度来说,摆振的动力学研究也是讨论不同轮胎模型的一个重要课题,可以根据系统模型线性的稳定性分析来预测摆振:当魔术公式在时域也线性化时,两种轮胎模型应该给出类似的结论。在之前的研究中,时滞轮胎模型仅用于不含转向系统的1-2自由度的拖车摆振问题,相关的理论分析显示,该轮胎模型在低速度区间预测出了额外的不稳定区域(特别是在低阻尼情况下,见Takacs,Orosz,and Stepan,2009;Beregi,Takacs,and Stepan,2016)、甚至是准周期振动(Takacs and Stepan,2009),且经过了实验验证。然而,低速的行驶条件与实际情况毕竟相去较远,这也是时滞轮胎模型在工程上并未得到广泛应用的原因之一。此外,还考虑了两种轮胎侧向形变假设(Pacejka,2006):刷子模型和张弦模型,用来推导系统的约束公式。刷子模型用刷子来模拟轮胎弹性,假设刷毛固定在一个刚性的支架上,相邻的刷毛之间没有直接连接,因此轮胎(即刷毛)形变的区域仅限制在接地范围内,且接地印记最前方的点侧向位移始终为零;当无侧向力时,轮胎接地印记是一条直线,轮胎接地最前方的那根刷毛与地面垂直。而张弦模型则假设轮胎是一根弦,轮胎在接地区间内外均有侧向的形变,但除接地处以外,周向无形变,即从侧向看,仍保持圆周形状。比较而言,张弦模型与实际情况更接近,但得到的约束公式更复杂,常用于动力学分析;而刷子模型将轮胎形变简化了很多,却也因简单、响应快而常用于车辆控制理论中的建模。另外,即使是相同类型的形变假设,针对不同的轮胎模型也有所区别:本文中与魔术公式相匹配的接地印记均假设为一条直线,而时滞轮胎模型则不限制其侧向位移的形状。值得一提的是,Pacejka对于张弦模型的形变提出了两种假设:直切线假设和抛物线假设(parabolic assumption),见(Pacejka,2006;Pacejka,1971)。前者假设接地印记是一条直线,后者则考虑为抛物线;虽然后者更接近实际形变,前者却因为简单而被广泛用于车辆的摆振研究(例如Wei et al.,2017;Mi et al.,2018;Lu et al.,2015;Li and Lin,2016)。首先,针对非独立悬架汽车,建立了较简单的3自由度摆振模型(Li and Lin,2006),比较了在不同的形变假设下的两种轮胎模型。不同于飞机起落架或拖车的研究,车辆摆振的建模需要额外考虑转向系的影响。该系统模型可用来研究例如转向系磨损的重型卡车(Li and Lin,2006)或吉普车(Rare Parts Inc,2015)可能出现的摆振,同时也为独立悬架车辆摆振的研究提供了重要参考。不考虑车轮外倾角和车轮前束角等,假设车辆以匀速行驶在光滑的路面,忽略车身的振动以及垂向和侧向的位移,方向盘保持不动(即无转角输入),且轮胎与地面间无相对滑移。以张弦模型为例,数学模型的推导过程可简述如下:一、先求出系统的动能、势能、以及耗散能,代入拉格朗日第二类方程得到运动方程;二、根据轮胎、地面间无滑移的假设,可以求得约束方程为偏微分方程(partial differential equation,PDE);三、根据轮胎接地最前方那一点的斜率与松弛长度的关系,将偏微分方程转化为常微分方程(ordinary differential equation,ODE),再与系统的运动方程联立求解:若使用魔术公式,则运动方程为常微分方程,若使用时滞轮胎模型,则根据偏微分方程的行波解(travelling wave solution)将运动方程由积分微分方程(integro-differential equation,IDE)转化为时滞微分方程(delay differential equation,DDE)。将模型线性化处理后,根据其特征方程的特征根,考察了以速度、轮距为变量的稳定性图。时滞微分方程的特征方程有无数个特征根,但只有其中的有限个可能位于复平面的右半平面,而导致系统不稳定;由于维度较高,解析解在此处已经不适用,因此采用了两种数值解法来求取其稳定性图:Multi Dimensional Bisection Method(Bachrathy and Stepan,2012)和Pseudo-spectral tau Method(Lehotzky and Insperger,2016),得到的结果相同。进一步地,通过减小阻尼值并增加转向系的弹性,来模拟一个磨损的结构。在刷子模型的假设下,两个轮胎模型在原参数下都显示系统稳定,但随着阻尼值的逐步减小,不稳定区域从出现到覆盖的范围越来越大,值得注意的是,时滞轮胎模型比魔术公式在低速区间显示出更丰富的稳定性图。对于更加贴近实际轮胎形变的张弦模型,其接地区域以外的形变用松弛长度来描述,在该假设下,两种轮胎模型给出类似的不稳定曲线,但相比于魔术公式,时滞轮胎模型预测的摆振范围更广且速度较高。在特定的参数组合下,对于降低了阻尼和转向系刚度的磨损结构,魔术公式不仅给出了振动频率为6[Hz]的不稳定曲线,还预测了速度范围为50-80[m/s]、频率为11-13[Hz]的不稳定区间。然而,两种轮胎模型的区别表现在:在不稳定曲线的交叉区域,时滞轮胎模型显示出频率为7,11,甚至是17[Hz]的准周期振动,且出现了在轮胎接地区域内左右前轮振动的相位相反的振动模态。尽管稳定性图所考察的速度范围较大(0-100[m/s]),却仍十分必要:一方面它方便对比两种轮胎模型,可以展示出更加完整的曲线结构;另一方面随着技术的发展,汽车的最高时速也在增加;此外,如若改变系统参数,或者对于其他机构,高速区域内的不稳定曲线或会左移。进一步地,针对独立悬架的汽车,建立了5自由度的模型,该模型可用来研究例如轮毂电机四轮直驱电动汽车的摆振。相比于3自由度的模型,该模型左右悬架与车身相连,互相之间无直接的刚性连接;转向系也不同,是与独立悬架相匹配的结构。同样假设车辆匀速行驶,且方向盘无转角输入等。类似地,在刷子模型的假设下,两种轮胎模型都给出稳定的结果;对于给定的系统参数,在减小阻尼值的情况下,时滞轮胎模型的稳定性图中出现了四条不稳定曲线(临界频率分别为7,11,15-17,13-20[Hz]),显示出更复杂的振动形式,而魔术公式仅得到了两条不稳定曲线(频率为12-20,11-23[Hz])。有趣的是,魔术公式的两条不稳定曲线,与时滞轮胎模型较高频率的两条不稳定曲线相比,不管是振动频率还是振动模态都十分类似,而速度范围不同。对比两个轮胎模型的线性稳定性分析结果,虽然整体来说摆振出现的范围大致相同,但稳定性图的结构却相差甚远。至于张弦模型的形变假设,两个轮胎模型则给出了十分相似的结果:原系统均出现了一条振动频率约为7[Hz]的不稳定曲线;而在低阻尼条件下,都出现了三条不稳定曲线,对应频率分别为7,11,和15-20[Hz]。除了阻尼外,还考察了其他的系统参数的变化对摆振的影响,例如主销后倾角、簧下质量、主销地面偏距等,从预防摆振的角度为车辆的设计提供了重要参考:一个正的主销后倾角利于车轮转向之后的自动回正,然而主销后倾角越大,摆振出现的速度范围就越大,因此二者之间需要有一个平衡;簧下质量越大,越容易出现摆振,且摆振出现的速度有降低的趋势;而主销地面偏距则对摆振的范围影响不大。在更接近实际轮胎形变的张弦模型假设下,对比3自由度和5自由度系统的稳定性图,不论是使用哪种轮胎模型,约在70-100[m/s]的高速区间都有一条不稳定曲线(在系统阻尼值减小的条件下),其振动频率都较高(分别为10-15[Hz],15-20[Hz]),而振动模态却完全不同:非独立悬架的3自由度模型显示出左右前轮振动的相位相同,而独立悬架的5自由度模型则相反。诚然,两个模型结构不同、参数不同,并不能直接相比较,目前的结果也只是在现有的参数组合下得到的,但是,不同系统可能发生的振动形式却由此可见一斑。最后,考察了张弦模型假设下、不同系统模型的能量分布情况。不同于Besselink(2000)在对比不同轮胎模型时提出的能量流方法(Energy flow method,又见Ran,Besselink,and Nijmeijer,2014),能量分布法不关注能量如何流动,而关注它在各个广义坐标下的比例。根据稳定性边界上点的特征根所对应的特征向量,可以得到各个不稳定曲线随时间变化的动能分布图。结果显示,某些看起来类似的振动模态,却可能有完全不同的能量分布。此外,不同频率的不稳定曲线对系统不同部位的阻尼值敏感程度差异很大,通过增大相应的阻尼,可以有效地减少特定曲线所覆盖的不稳定区域面积:3自由度模型在高速区间(70-100[m/s],对应的频率为10-15[Hz])的不稳定曲线对悬架阻尼敏感,而仅由时滞轮胎模型预测的更高频率(17[Hz])的曲线,则对转向系和主销处的阻尼值敏感;5自由度模型在70-100[m/s]速度区间的不稳定曲线也是对悬架阻尼更敏感。这个结果不仅在车辆设计阶段有用,还为减小摆振,尤其是主动减振器的使用提供了重要的参考。总结起来,Pacejka的魔术公式在中等速度区间和较高的阻尼的前提下,提供了定量分析层面准确的轮胎建模方法;它可以很容易地使用在汽车的多体动力学模型上,并且对应的数学模型推导过程简单、得到的常微分方程可以直接应用到数值仿真或稳定性分析上,比如摆振的分析。与此同时,相对的缺点在于:该轮胎模型的各项参数需要大量的实验的确定、甚至是摆振实验的验证。相比而言,时滞轮胎模型的优点在于:所需要的参数非常少,将轮胎接地处的非线性形变较贴近实际地描述出来,而且能反映出很高或很低速度下的准周期振动、微摆振的情况(甚至是对于阻尼和刚度减小了的磨损结构),也能应用于多体动力学的数值仿真和稳定性分析。目前来看,它的缺点在于:尚且没有准确的实验方法来确认它的(即使是很少的)参数值,而根据魔术公式的对应参数对例如单位长度上轮胎侧向刚度值的估算方式也并不直观。因此,时滞轮胎模型所预测的不稳定曲线,虽然与魔术公式并没有定性上的差别,却会在稳定性图中右移,即摆振出现在较高的速度区间。对于时滞轮胎模型,除了需要大量的实验研究外,还可以从其他方面提高它的准确性,例如:现在使用的轮胎松弛长度或接地长度值是固定的,可将其看作变量,因为它们在实际情况中是随时间变化的;单位长度的轮胎侧向刚度值是个常数,但轮胎不同位置的刚度应有所差异,因此也可进一步探索刚度的表达式。由时滞轮胎模型得到的时滞微分方程,可以看作是常微分方程在无限维空间扩展的一般化形式。它的引入使得更加精确的在无限维状态空间的动力学描述成为可能,但相比于偏微分方程对轮胎连续体模型的描述仍然要简单的多。因此,时滞微分方程的数值仿真和解析的稳定性分析(或分岔分析)仍相对简单。换句话说,时滞轮胎模型在低自由度的刚体模型和高自由度的有限元模型之间提供了一个折中的建模方案,虽然得到的动力学方程稍复杂,却依然能够在合理的时间范围内求解。在工业领域,时滞轮胎模型距离替代传统的轮胎模型尚有很长的路要走,但随着车速和其他动力学性能的提高、轻型结构的使用、轮胎未来的发展已然需要更精确的轮胎模型,而现有的数学工具使得它的有效应用(例如在低速和高速情况下摆振的预测和分析)成为可能。本课题的研究内容可总结如下:1.时滞轮胎模型是一种基于轮胎的物理形变而推导的理论轮胎模型,在以往的研究中,由于模型本身的复杂性,它仅用于1-2自由度系统(如拖车)摆振的稳定性分析中。然而,该模型不仅有清晰的物理意义,还能预测到(低速下)额外的不稳定情况,应用前景广阔。为了将时滞轮胎模型推广到更高自由度的车辆摆振研究中,首先,在现有3自由度摆振模型的基础上,对比包括时滞模型的两种轮胎模型,并考虑例如陀螺力矩和主销后倾角的影响,推导系统的动力学方程和不同的轮胎侧向形变假设下的约束公式,稳定性分析表明:两种轮胎模型给出的结果类似,但时滞轮胎模型仍在中高速情况下表现出优势。2.电动汽车由于能源环境友好和电机响应迅速等优势逐渐成为近年来的研究热点,尤其是四轮独立驱动的电动汽车特别是轮毂电机(或轮边电机)的引入,使更复杂控制的集成和灵活的操纵性成为可能。大量的研究都集中在控制策略的实现,但控制的建模却常不考虑摆振的影响,这其中的机电耦合关系也尚不清楚。为了研究电动汽车的摆振,建立5自由度的摆振模型:相比于传统的非独立悬架模型,左右悬架与车身相连而彼此无刚性连接,并采用了与悬架相匹配的转向系。此外,对比了不同轮胎模型的稳定性预测结果,考察了不同参数(尤其是轮毂电机的引入使得电动汽车簧下质量增大)对摆振的影响。未来研究将针对该模型探索控制因素对摆振的影响。3.轮胎是摆振研究的重点之一,摆振研究也是探索不同轮胎模型特性的重要方面。如何根据需要选择合适的轮胎模型,也是研究者首先需要考虑的问题。本文对比了魔术公式和时滞轮胎模型在摆振研究中的异同和各自的优缺点:魔术公式在中等速度范围内更能精确描述系统的动力学现象,所得到的常微分方程易于求解,但它是一个半经验的轮胎模型,需要大量实验来确定其众多的参数;时滞轮胎模型有较强的物理背景、与轮胎的实际形变更接近,在低速和高速时能预测额外的不稳定现象,但由此得到的时滞微分方程求解过程较复杂,且目前尚无成熟的技术来测量模型参数。4.在动力学建模的过程中,约束条件的不同对稳定性预测的影响巨大。常见的刷子模型和张弦模型在推导约束公式时则各有利弊。本文对比了这两种轮胎侧向形变假设的理论背景和在稳定性预测中的不同:刷子模型简化力度大,得到的稳定性图与真实情况差距较大(尤其是配合魔术公式的使用),但因模型简单、响应速度快而在控制理论中应用广泛;张弦模型求解复杂,但其假设更接近实际,预测的系统稳定性与实验结果吻合。特别地,时滞轮胎模型即使在刷子模型的形变假设下,也能给出较合理的结果:虽然系统在原系统阻尼值下显示稳定,但随着阻尼的降低,整个稳定性图的结构与张弦模型假设下所预测的非常类似。5.仅依靠稳定性图和振动模态,虽可以预测不同参数组合下系统的稳定性情况,却难以得出针对性强的减振措施或建议。该研究把能量分布的方法应用到摆振研究中来,并提出了相应的减少摆振的措施:通过能量分析发现,各不稳定曲线对应不同区域的阻尼值敏感度不同,因而可以通过在某些特定情况下,针对性地增大相应的阻尼值来避免摆振。本课题的主要创新点可总结如下:1.将物理意义更明确的时滞轮胎模型,应用于较高自由度的系统的摆振分析中:在先前的研究中,由于所引入的时滞微分方程的复杂性,时滞轮胎模型仅用于低自由度且不包含转向系的机械机构(例如拖车)的摆振建模中。2.正如在已有的低自由度摆振模型中,时滞轮胎模型预测到了低速情况下额外的摆振;对于本文研究的高自由度的摆振模型,在特定的参数组合下,时滞轮胎模型在中高速范围内也预测到了其他模型没有预测到的摆振,且其对应的不稳定曲线表现出了新的振动模态。3.对车辆摆振的研究集中在几何参数和非线性因素对系统稳定性的影响上,多使用结构较简单的非独立悬架模型;而本文针对四轮独立驱动电动汽车,建立了独立悬架的摆振模型:建模时考虑了主销后倾角、簧下质量增大和陀螺力矩等,且对比了不同轮胎模型在稳定性分析中的异同。4.把能量分布方法应用到摆振研究中,不仅为系统稳定性情况的观察提供了新的维度,还为摆振的消除和主动阻尼器的应用提供了重要参考。未来的研究将分为两方面:一个是时滞轮胎模型的进一步探索,另一个是车辆摆振的深入研究;具体将集中在时滞轮胎模型的完善(如轮胎阻尼的引入)和非线性研究、控制因素对摆振的影响、以及实验验证等。