【摘 要】
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Fibonacci数列Fn和Lucas数列Ln是两类非常重要的数列,一直以来都是许多专家和学者研究的热点,甚至是一些数论方面的初学者.如今更是渗入到了组合数论、初等数论以及代数、分
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Fibonacci数列Fn和Lucas数列Ln是两类非常重要的数列,一直以来都是许多专家和学者研究的热点,甚至是一些数论方面的初学者.如今更是渗入到了组合数论、初等数论以及代数、分析、几何理论中,有着广泛的应用.本文作者就Brian Curtin所给出的(?)Fn+jFm+j和(?)Ln+jLm+j这两个和式的化简公式展开研究,并关键利用第一类和第二类Chebyshev多项式与Fibonacci和Lucas数列的关系式来进行讨论.而且在研究以上问题的过程中,作者还另外注意到一类正交多项式Legendre多项式,它与Chebyshev多项式一样有许多很好的性质,于是我们试图建立起它与Fibonacci数和Lucas数的联系.所以文章包括以下几个方面：1.利用第一类和第二类Chebyshev多项式与Fibonacci和Lucas数列的关系式,并运用初等及组合的方法,对(?)Fn+jFm+j和(?)Ln+jLm+j这两个化简公式进行了推广,给出了(?)Fn+jFm+jxj和(?)Ln+jLm+jxj两个和式的结果；其次运用同样的方法给出了(?)Fn+jFm+jFe+j和(?)Ln+jLm+jFe+j的化简公式；最后我们得到一个新的包含Fibonacci和Lucas数的等式.2.根据Chebyshev多项式的正交性,再由一个恒等于零的组合等式,最终给出了用Legendre多项式表示χ2n和χ2n+1的具体形式,这样Legendre多项式和Chebyshev多项式就可以互相表示.再者,在上述结果的证明过程中还得到一个元素为组合公式的一个规则的行列式的值.
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