数值流形法利用两套覆盖实现了插值网格和积分背景网格的分离，计算结果对于网格的依赖性相对有限元减弱了很多。数值流形法的数学网格不需要适应求解域的边界和各种不连续面，规则的数学网格上可以取得高精度的插值，因此，本文中我们选择使用规则的结构化网格来建立数值流形法的数学覆盖，研究二维结构化网格上的数值流形法。本文的主要工作包括以下几个方面:　　1)建立了Hermite形式的数值流形法空间，用于求解四阶偏微分方程控制的问题，例如结构中的Kirchhoff薄板问题。有限元中的Kirchhoff薄板问题的Zienkiewicz单元的形函数满足我们对于Hermite形式插值的要求，但这种单元对于网格构型有非常严格的要求，在有限元的背景下这种单元无法求解形状复杂的问题。我们建立满足要求的规则数学网格，在数值流形法的背景下求解了复杂形状的薄板受力问题。我们这里在数值流形法中实现Zienkiewicz单元，可以作为用数值流形法挽救那些对网格构型有严格要求的非协调元的范例。　　2)建立了两种数值流形法中结构化网格加密的方法:多重覆盖法和加密物理片方法。多重覆盖数值流形法是基于在局部区域建立的多重局部覆盖实现的，可以对任意区域加密，具有非常强的通用性，唯一的不足是这种方法的刚度矩阵是奇异的。通过在物理片上布置结构化网格，并在布置的网格上建立局部插值，作为物理片上的局部近似函数，同样可以实现结构化网格加密，我们称这种方法为加密物理片的方法。文中大量算例显示，在二维情况下，如果没有奇异物理片，加密物理片方法的刚度矩阵在施加本质边界条件之前亏秩数都是3，这表明，本质边界条件正确施加后可以得到正定的刚度矩阵。　　3)数值流形法利用两套覆盖包含了对于裂纹面等不连续面两侧的位移不连续的描述，在形成不连续面上位移的近似时，不需要做任何特殊处理，就可以表征位移的不连续。因此，数值流形法非常适合求解断裂力学问题。Williams级数是线弹性裂纹尖端渐进场的解析解，用Williams级数的各项来作为裂纹尖端附近区域场变量近似中的基函数，可以精确的表达裂纹尖端的奇异性。将线弹性断裂力学问题的求解域划分成裂纹尖端区域和外部区域，分别用Williams级数和数值流形法来近似不同区域，然后用拉格朗日乘子法、罚函数法、势能区和余能区分区变分三种方法建立了三种求解线弹性断裂力学问题的区域分解方法。由于后两种方法各有缺点，文中重点研究了基于拉格朗日乘子法构造的区域分解方法，研究了拉格朗日乘子的插值函数，并通过数值实验的方式分析了几种因素对于计算精度的影响。数值算例显示这种方法对于各种复杂裂纹问题有良好的收敛性。