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拟Newton法是求解非线性方程组和最优化问题的一类十分有效的算法.在一定条件下,这些算法具有局部的超线性收敛性.如果采用某些线性搜索技术,在求解无约束最优化问题时,大多数的拟Newton算法都具有全局收敛性.但是,在求解非线性方程组时,大多数拟Newton法的全局收敛性尚不清楚.这主要是由于求解非线性方程组的拟Newton方向一般不讨论方程组模函数的下降方向.所以,要建立拟Newton法的全局收敛性就需要建立一种无导数的线性搜索.Griewank(1986)最早得到有关拟Newton法的全局收敛性理论,提出了一种无导数的线性搜索.采用这种无导数的线性搜索,Griewank证明了Broyden算法用于求解非线性方程组时具有全局收敛性.但是,Griewank提出的线性搜索实现起来比较困难.为了克服这一缺陷,Li-Fukushima(1999)提出了一种无导数的线性搜索,这种无导数的线性搜索具有范数近似下降的性质.Li-Fukushima证明了采用此范数近似下降的Broyden算法的全局收敛性和超线性收敛性.在对称非线性方程组方面,Li-Fukusk5ma(1999)提出了另外一种无导数的线性搜索,并建立了DFP算法求解对称非线性方程组的全局收敛性.
本文研究采用Li-Fukushima(1999)提出的近似范数下降的无导数线性搜索建立求解对称非线性方程组的PSB(Powell-Symmetric-Broyden)算法的全局收敛性.我们证明,若方程组的Jacobi非奇异且Lipschitz连续,则采用近似范数下降的无导数线性搜索的PSB算法具有全局收敛性和超线性收敛性.文章最后进行数值试验,结果表明本文的算法具有较好的数值效果,表明PSB算法是求解对称非线性方程组全局解的一种有效方法.