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Nn(R)表示R上的严格上三角n×n矩阵的R代数,n是大于1的正整数。R线形映射d:d(ab)=d(a)b+ad(b)称为导子,a,b∈T。若T是非交换代数,φ(x,y)=λ[x,y],(∨)x,y∈T,λ∈Z(T),Z(T)是T的中心,则Φ称为内双导子。第一章,我们将定义中心双导子和极限双导子,并证明当n≥5时,Nn(R)的任意双导子可以分解为一个内双导子、中心双导子和极限双导子的和。
令A是一个代数,定义Lie积[a,b]=ab-ba,a,b∈A。一个非线性映射φ:A→A称为非线性Lie三元Lie导子,若满足:
φ([[a,6],c])=[[φ(a),b],c]+[[a,φ(b)],c]+[[a,b],φ(c)].H是个Hilbert空间,N是H上的套N≠{{0},H).令φ:T(N)→T(N)是T(N)上的非线性三元Lie导子,则φ(x)=d(x)+τ(x),x∈T(N),其中d是T(N)上的可加导子,τ:T(N)→F,τ[[a,b],c]=0。