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1956年，O.Njastad在开集的基础上给出了α-开集和β-开集的定义，并研究了这两类弱开集的性质及关系.A.Al-Omari和M.S.M.Noorani在开集的基础上定义了N-开集，并且研究了N-开集的一些性质.1982年，H.Z.Hdeib在开集的基础上给出了ω-开集的定义，并且研究了ω-开集的一些性质.本文在上述定义的基础上引入了Nα-开集、ωα-开集、Nα-连续映射和ωα-连续映射的概念并且研究了Nα-开集和ωα-开集的性质，同时用这两个弱开集研究了一些映射的性质.具体来说， 在第一章里，我们介绍Nα-开集和ωα-开集产生的背景、研究发展概况，同时介绍了后面各部分要用到的一些主要定义、定理和有关的记号。 在第二章里，我们给出了Nα-开集的定义，讨论了Nα-开集的性质，并且用Nα-开集研究了一些弱开集之间的关系，同时也利用Nα-开集定义了一些新的映射，研究了这些映射的性质。 在第三章里，我们给出了ωα-开集的定义，讨论了ωα-开集的性质，并且用ωα-开集研究了一些弱开集之间的关系，同时也利用ωα-开集定义了一些新的映射，简单的研究了这些映射的性质。