分数阶动力学的研究是国际科学与工程领域的前沿课题,引起各领域科学家的广泛关注.但是,求解分数阶微分方程的积分是一个基础而又困难的问题!1788年以来,伴随着分析力学的发展,分析力学家提供了一整套求解动力学方程的积分方法,例如寻找守恒量的Poisson方法、Jacobi最终乘子方法、Lie对称性方法、Mei对称性方法等等,并且已经把这些经典的积分方法拓展应用于求解整数阶微分方程.最近20年,国际上科学家们分别建立了分数阶Lagrange方程、分数阶Hamilton方程和分数阶非完整系统动力学方程.2010年以来,Luo带领的课题组建立了新的分数阶Lagrange力学,完整的分数阶Hamilton力学,分数阶广义Hamilton力学,分数阶Birkhoff力学和分数阶Nambu动力学,进而研究了这些系统的梯度表示、代数结构、Poisson守恒律、变分方程、积分不变量、运动稳定性等,给出了构造实际分数阶动力学模型的分析力学方法.问题是:基于分数阶微分方程的分析力学表示,能否利用分析力学经典的积分方法求解分数阶微分方程呢?本论文在分数阶导数的Riesz–Riemann–Liouville定义下,基于分数阶微分方程的分数阶Lagrange表示、分数阶Hamilton表示、分数阶广义Hamilton表示、分数阶Birkhoff表示和分数阶Nambu表示,研究分数阶微分方程的分析力学方法,主要包括分数阶微分方程的分数阶Jacobi最终乘子方法、分数阶Lie对称性方法和分数阶Mei对称性方法,并研究这三种方法在实际分数阶动力学模型中的应用.在理论上,拓宽了分数阶动力学理论和分数阶微分方程理论;在方法上,提供了求解实际分数阶模型的三种方法;在应用上,研究了几个典型的实际分数阶模型的分析力学方法,也为探索其它实际模型的内在性质和动力学行为提供了借鉴.这在现代数学、力学、物理学和工程中有着重要的理论价值和宽泛的实际实用价值,也丰富和发展了分数阶动力学以及分数阶微分方程的理论与方法.第一章简要介绍了分析力学和分数阶动力学研究的历史与现状,提出了本论文所要解决的问题.第二章首先,分别介绍了Riemann–Liouville、Riesz–Riemann–Liouville、Caputo和Riesz–Caputo四种不同分数阶导数的定义及其主要性质.然后,基于Riesz–Riemann–Liouville分数阶导数的定义,给出了分数阶微分方程的分数阶Lagrange表示、分数阶Hamilton表示、分数阶广义Hamilton表示、分数阶Birkhoff表示和分数阶Nambu表示;并分别提出了构造分数阶动力学模型的分数阶Lagrange方法、分数阶Hamilton方法、分数阶广义hamilton方法、分数阶birkhoff方法和分数阶nambu方法.第三章本章提出了一个寻找分数阶系统守恒量的新方法,即分数阶jacobi最终乘子方法.在riesz–riemann–liouville分数阶导数的定义下,研究一般的分数阶微分方程,构造它的分数阶jacobi最终乘子,分别给出最终乘子的确定方程和三个重要性质.然后,提出分数阶jacobi最终乘子方法,包括寻找分数阶系统守恒量的三个定理.再者,将分数阶jacobi最终乘子方法分别应用于分数阶lagrange系统、分数阶hamilton系统、分数阶广义hamilton系统、分数阶nambu系统和分数阶birkhoff系统,给出五个相关命题.而且,利用分数阶微分方程的分析力学表示和分数阶jacobi最终乘子方法,寻找实际动力学系统的守恒量,分别求得分数阶广义相对论buchduhl模型、分数阶robbins–lorenz模型、分数阶euler–poinsot模型和分数阶duffing振子模型的守恒量.第四章本章提出了一个寻找分数阶系统守恒量的新方法,即分数阶lie对称性方法.在riesz–riemann–liouville分数阶导数定义下,基于分数阶微分方程的分数阶lagrange表示、分数阶hamilton表示、分数阶广义hamilton表示、分数阶birkhoff表示和分数阶nambu表示,提出寻找分数阶系统守恒量的分数阶lie对称性方法,包括构造一种新的单参数分数阶无限小变换,在这种变换下,得到分数阶lie对称性的确定方程和求解系统守恒量的定理.而且,利用分数阶微分方程的分析力学表示和分数阶lie对称性方法,寻找实际动力学系统的守恒量,分别求得分数阶hénon–heiles模型、分数阶emden模型、分数阶lotka生化振子模型、分数阶duffing振子模型和一个四维分数阶birkhoff模型的守恒量.最后,在分数阶框架下探究了lie对称性方法和jacobi最终乘子方法之间的关系.第五章本章提出了一个寻找分数阶系统守恒量的新方法,即分数阶mei对称性方法.在riesz–riemann–liouville分数阶导数定义下,基于分数阶微分方程的分数阶lagrange表示、分数阶hamilton表示、分数阶广义hamilton表示、分数阶birkhoff表示和分数阶nambu表示,提出寻找分数阶系统守恒量的分数阶mei对称性方法.在一般的分数阶lie变换下,分别得到相应的分数阶mei对称性确定方程和求解系统守恒量的定理.而且,利用分数阶微分方程的分析力学表示和分数阶mei对称性方法,寻找实际动力学系统的守恒量,求得分数阶kepler模型、分数阶hénon–heiles模型、分数阶相对论buchduhl模型、分数阶相对论yamaleev振子模型和分数阶hojman–urrutia模型的守恒量.第六章归纳总结了本文的主要工作,提出了分数微分方程的分析力学方法进一步研究工作的一些建议.