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1983-1984年间，齐东旭教授与冯玉渝教授提出了一类新的正交完备函数系，被称为U系统。U系统是分层次的，完整的说法是“k次U系统，k=0，1，2，3…”。零次U系统(k=0)就是walsh正交函数系，k次U系统是一类分段k次多项式组成的L<2>[0，1]正交完备函数系。它包含无穷次可微的函数，更包含在[0，1]内的点x=q/2r处出现各种间断的分段函数，其中2为区间[0，1]的等分数目，q=1，2，…，2-1。U系统囊括了光滑、强间断与各层次的弱间断函数，因而可以对相当广泛的一类复杂信号做到有限且精确的表达。本文利用U系统的独特性质，研究了它的一些应用。在数字几何中几何造型的频谱分析、图形的分类与识别、工程图数字水印以及某些图象处理中，都表明它是可行而有效的。为这些应用问题提供了一种新的解决手段和方法，也为拓展U系统及其新的应用领域提供了有益的探索。
本文的主要成果包括以下五个方面：
(1) 提出了U描述子的概念，给出了U描述子的性质并予以证明。同时提出了归一化U描述子的定义，并且在理论上证明了归一化U描述子经几何变换(旋转、缩放、平移)的不变性。
(2) 提出了基于U系统的几何造型频谱分析新方法。傅立叶函数系、正交多项式函数系等由于其高光滑性，它们的有限项不能精确表达由分段多项式组成的几何造型，诸如Gibbs现象就是一个严重的障碍。因此，它们不适合由分段多项式组成的几何造型的频谱分析；另外，沃尔什函数系和哈尔函数系等由于其强间断性，它们的有限项同样也不能精确表达这些几何造型，因而，它们也不适合于几何造型的频谱分析。使用U系统的有限项能够实现这些几何造型的精确表达，按照这种表达，我们可以计算几何造型的能量，因此，U系统适合于几何造型的频谱分析。在理论上，分析了几何造型的频谱性质，并且通过实验验证了结论的正确性。
(3) 提出了基于归一化U描述子的图形分类与识别的新方法。随着研究的不断深入，出现了不同的图形分类与识别的方法。如：轮廓矩不变量、傅立叶描述子、自回归模型和基于边界特征点等方法。Kauppien比较了各种典型图形分类与识别方法的能力，实验表明傅立叶描述子是最佳的方法。而我们实验表明，归一化的U描述子能够对较广一类几何图形分类与识别，与傅立叶描述子相比具有明显的优势。
(4) 提出了基于U系统的工程图水印技术新方法。即使经平移、旋转、缩放等几何变换后，按照这种方法嵌入的水印也能够很好的被提取。
(5) 提出了基于U系统的整数变换。给出U整数变换原理和算法；同时给出了理论上综合评价性能较好的20组基；实验结果表明U整数变换具有较好的能量集中率。