【摘 要】
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对称锥互补问题是一类重要的均衡优化问题,在经济、通信工程、交通等领域有着广泛的应用.它不仅为非线性互补问题、二阶锥互补问题、半定互补问题等优化问题提供了一个统一的研究框架,而且与对称锥线性规划、组合优化、不确定优化、均衡理论密切相关.欧氏若当代数是研究对称锥互补问题的一个重要的工具.本文基于欧氏若当代数,研究了几类对称锥互补问题,包括单调对称锥互补问题、强单调对称锥互补问题和笛卡尔P0-对称锥互补
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对称锥互补问题是一类重要的均衡优化问题,在经济、通信工程、交通等领域有着广泛的应用.它不仅为非线性互补问题、二阶锥互补问题、半定互补问题等优化问题提供了一个统一的研究框架,而且与对称锥线性规划、组合优化、不确定优化、均衡理论密切相关.欧氏若当代数是研究对称锥互补问题的一个重要的工具.本文基于欧氏若当代数,研究了几类对称锥互补问题,包括单调对称锥互补问题、强单调对称锥互补问题和笛卡尔P0-对称锥互补问题,并构造了相应的求解算法.主要内容如下:1.研究了一类单调对称锥互补问题,提出了一个投影收缩算法.借助对称锥上的投影算子和Frobenius范数将对称锥互补问题转化为一个与之等价的投影方程,通过求解此投影方程得到对称锥互补问题的解.算法在每一步的计算量很小,只需在对称锥上进行几次投影计算和一些函数运算.在变换是单调的条件下,证明了算法是全局收敛的.数值实验验证了算法的有效性.2.进一步研究投影收缩算法,将投影收缩算法与Barzilai-Borwein步长结合,提出了一个求解对称锥互补问题的投影Barzilai-Borwein算法.算法使用了一个新的方向,在变换满足强单调且Lipschitz连续的条件下,证明了新方向是一个下降方向.同时引入了一个非单调的线搜索,进而保证了算法的全局收敛性.数值实验验证了算法的性能.3.研究了一类笛卡尔P0-对称锥线性互补问题,提出了一个非单调的正则化光滑牛顿算法.与大多数光滑牛顿算法不同的是,此算法的全局收敛性条件不需要解集有界.仅在解集非空的条件下,证明了算法产生的迭代序列是有界的,并且进一步说明了算法的全局收敛性.数值实验说明了算法是有效的.4.研究了一类笛卡尔P0-对称锥互补问题,基于一类新的光滑函数和一个非单调的线搜索,提出了一个光滑牛顿算法.这个新函数可被看作广义的Fischer-Burmeister光滑函数.当对称锥互补问题的解集非空且有界时,算法具有全局收敛性.在一定的条件下,分别证明了算法的局部超线性收敛性和局部二次收敛性.数值实验表明算法是有效的.
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