随着科学技术的发展,在物理学、化学、数学、生物学、医学、经济学、工程学、控制论等领域出现了各种各样的非线性问题.由于其广泛的应用背景和深刻的数学意义,这些非线性问题引起了许多学者的密切关注.一方面,非线性常微分方程边值问题的研究是一个具有持久生命力的课题.近一段时期以来,由于实际问题的需要,非线性常微分方程边值问题解的存在性受到广泛的关注.在这一问题的研究中,很多文献都是从二阶非线性边值问题推广到具有一维p-Laplacian边值问题上,但是,很少有文献来关注更广泛的一类算子:递增同胚和正同态算子.另一方面,由于自然科学的飞速发展,在物理学、几何学等众多领域出现了大量的非线性偏微分方程,这些方程对应的变分泛函不满足(PS)条件,对于这类方程的研究,以往寻找临界点的经典方法已经无法直接应用.为了解决这类变分问题,产生了许多新的非线性分析的方法和技术.例如,P.L.Lions所发展的集中紧性原理(Concentration—Compactness-Prineiple)见文[115,116].目前,非线性泛函分析已经成为现代数学中的一个重要分支.它为解决各种各样的非线性问题提供了一个富有成效的理论工具.利用非线性泛函分析研究问题的主要方法有:拓扑度理论、临界点理论、Morse理论、变分方法、半序方法以及分析方法等内容.关于非线性泛函分析及其应用,国内外有许多优秀的专著([37,46,65,84,85,134,163,168]).　　 尽管很多学者对非线性多点边值问题和非线性偏微分方程解的存在性进行研究,并取得了丰富的成果.但是,对于带有递增同胚和正同态算子的非线性多点边值问题以及临界问题解的存在性得到的结果比较少.因此,仍然存在许多未解决的具有挑战性的问题.针对以上这些问题,在本篇论文中,我们利用拓扑度理论、上下解方法以及临界点理论,来研究非线性多点边值问题和一类临界问题解的存在性,获得了一系列新的可解性和多重性结果.整个内容分为以下四章:　　 在第一章中,我们提供非线性泛函分析中的一些定义和不动点定理.　　 在第二章中,我们主要研究定义在有限区间上的多点边值问题,包括:　　 (1)讨论带有递增同胚和正同态算子的高阶多点边值问题无穷多个正解的存在性.这一节的主要难点是考虑适当的边值条件以及对非线性项含有的高阶导数进行控制.所得到的结果统一和推广了文[86,87,95,101,140].　　 (2)讨论一类2n阶多点边值问题迭代解的存在性.这一节的主要难点是建立极大值原理(即引理2.2.2).所得到的结果推广了文[17,18,117,165].　　 (3)讨论带有递增同胚和正同态算子的二阶三点脉冲边值问题无穷多个正解的存在性.这一节的主要难点是选取适当的边值条件并建立起来相应的积分算子,并且控制住脉冲点和奇点之间的关系.所得到的结果推广了文[86,87,95,101,140].　　 (4)讨论带有递增同胚和正同态算子的三阶m点脉冲边值问题三个正解的存在性.所得到的结果推广了文[13,105].　　 (5)对于分数次微分方程,我们打破常规限制,采用上下解结合不动点的方法给出其正解的存在性.　　 在第三章中,我们主要考虑定义在无穷区间上的多点边值问题,由于[0+∞)不是一个紧区间.因此,以前的一些重要不等式不适合这种情况.尤其是当非线性项显含未知函数一阶导数时,讨论边值问题的正解将会面临更多的困难.这是由于在锥上定义一个有界区域时,必须考虑一阶导数的取值范围,从而使边界的“拉伸”或是“压缩”不易实现.为了克服这些困难,在本章中我们用到了一个特殊的Banach空间来构造一个特殊的锥,来保证定义在[0,+∞)上的泛函有比较好的性质并且我们可以应用不动点定理.这章内容包括:　　 (1)讨论半轴上带有递增同胚和正同态算子的二阶多点边值问题一个、两个以及三个正解的存在性.所得到的结果推广了以前有限区间上对应的已有结果.　　 (2)讨论在无穷区间上,非线性项显含未知函数一阶导数的三阶多点边值问题无穷多正解存在性的充分条件.所得的结果是新的.　　 在最后一章,我们主要研究一类临界问题,包括:带有电磁场和临界非线性项的扰动Schr(o)dinger方程、带有临界Sobolev-Hardy指数的拟线性椭圆方程.这类问题的难点就是使得失去的紧性“恢复”.我们分别利用变分方法、一个新的对称的越山引理Kaiikiya[90],得到了带有电磁场和临界非线性项的扰动Schr(o)dinger方程驻波解的存在性和多解性以及带有临界Sobolev-Hardy指数的拟线性椭圆方程无穷多个小解的存在性.所得到的结果推广了文[38,49,74,106].