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弱 Galerkin 有限元方法(Weak Galerkin Finite Element Method,缩写为 WGFEM)是近年来发展起来的一种数值求解偏微分方程的有效计算方法,它是对有限元方法的延伸与推广,最早由王军平和叶秀于2011年提出,被应用于求解二阶椭圆型偏微分方程[68].同经典的有限元方法作比较,WGFEM同样主张将待求问题的空间区域离散化,用分片定义的间断函数空间逼近待求问题的光滑函数空间.然而不同的是,WGFEM引入了弱函数的概念和弱微分算子的概念,用弱微分算子逼近经典的微分算子(如梯度、散度、旋度、调和算子等),实现空间离散化过程.WGFEM一经提出,便受到国内外学者的广泛关注,历经数年的发展,内容也已逐渐丰富,其中,稳定项的引入[48]打破了 WGFEM原本在空间区域网格剖分和逼近多项式两方面选择上的局限,将网格剖分的选择扩展到了任意的多边形或多面体,同时使逼近多项式的选择更加灵活而丰富;弱Galerkin混合有限元方法的提出[69],将经典的混合有限元方法进行了推广;杂交弱Galerkin有限元方法的提出[66],用单元边界上的自由度代替单元内部的自由度,减少数值方法总体刚度矩阵的维度,加快求解速度.弱Galerkin方法还成功应用于求解Helmholtz方程[21,47,51]、双调和方程[46,49,65,86]、Maxwell 方程[50,58]、Stokes 方程[70,73]、Brinkman 方程[45,76]等等一系列模型问题.此外,也有一部分国内外的专家学者从基于后验误差估计的自适应网格加密[15,87,88,89]、多重网格技术[14,61]、超收敛现象[4,29,75]等其他角度对弱G alerkin方法进行研究.本文主要将弱Galerkin思想应用于热方程、抛物型双调和方程和非线性多孔介质弹性问题等三类问题的数值求解之中,根据每一个具体的问题,提出有效的弱Galerkin数值求解格式,并进行了误差分析和数值实验.本文共分为五章:第一章,首先对弱Galerkin方法的发展做简要概括.随后,对本文涉及的三个数学模型进行了简要介绍,概述其研究近况.第二章,将弱Galerkin混合有限元的思想应用到了热方程的数值求解当中.在引入了向量值弱函数空间和弱散度算子的定义之后,给出了带有稳定项的半离散和全离散弱Galerkin混合有限元格式.随后,针对两种格式,分别推导了标准的误差估计和最优阶收敛性估计.最后,通过两个数值算例验证了理论的正确性和方法的可靠性.第三章,将弱Galerkin有限元的思想应用到了抛物型双调和方程的数值求解当中.在定义了弱函数空间和弱调和算子后,分别给出了半离散和全离散的弱Galerkin有限元格式.随后,针对两种格式,分别推导了 L2范数和H2等价范数意义下的最优阶误差估计.最后,用数值实验的数据来验证理论分析的正确性.第四章,将弱Galerkin思想应用于求解非线性多孔介质弹性问题之中.在给出了模型问题的相关细节并分析其适定性之后,提出了一种由弱Galerkin混合有限元方法和经典的有限元方法耦合的数值计算方法,并分析了耦合算法的适定性.随后,推导了耦合算法的locking-free的误差估计.最终,通过两个数值算例验证了理论分析的结果和耦合算法的locking-free性质.第五章,对本文的工作进行了总结.