曲面嵌入图的几何对偶性是一种非常常见且重要的性质,它在多个领域都有重要的研究和应用,特别是在拓扑图论、代数图论、拓扑学和物理学等其它重要研究方向和学科.几何对偶的重要性不仅体现在它本身内在的性质,还体现在图和纽结不变量上.经典的几何对偶和Petrie对偶是整体地对所有边进行操作,而一旦只对边子集进行操作将得到曲面嵌入图的扭曲对偶.扭曲对偶不仅在图多项式、纽结多项式和拟阵有广泛的应用,同样将平图、几何对偶和中间图之间的关系推广到任意曲面嵌入图、扭曲对偶和中间图之间的关系.本文将继续利用曲面嵌入图的扭曲对偶来研究曲面嵌入图的部分性质.主要工作和创新点如下:（1）设G是带子图且μ（G）记作G的中间图所对应的虚链环分支数.易知μ（G）的上界,即μ（G）≤f（G）+γ（G）,其中f（G）和γ（G）分别是带子图G的边界分支数和欧拉亏格.一个带子图G称为极值的,若μ（G）=f（G）+γ（G）.我们给出了极值带子图的一个充分必要条件,即一个带子图是极值的当且仅当它的Petrial对偶是平面的.我们引入了极子式的概念并且用禁极子式刻画了极值带子图.最后证明了 Huggett和Tawfik提出的两个猜想并将相关结论推广到更一般的情形.（2）Kotzig指出每个连通4-正则平图存在A-迹（即它是一个欧拉闭迹并且连续的两条边在它们的公共顶点的半边圈序是相邻的）.然而,这个结论对于平面欧拉图不一定成立并且判断一个欧拉平图是否存在A-迹是NP困难的.本文中,我们主要使用了星图和扭曲对偶的工具刻画了存在A-迹的欧拉曲面嵌入图.Andersen等人给出了存在正交A-迹的棋盘可着色的4-正则曲面嵌入到平面、环面或实射影平面的嵌入图的刻画.他们也提出了一个公开问题:如何去刻画含有正交A-迹的欧拉曲面嵌入图（不一定棋盘可着色的）.本文中,我们用平行图和扭曲对偶来刻画这类曲面嵌入图并且得到其它一些相关结果.（3）我们证明了对任意的曲面嵌入图存在棋盘可着色的扭曲对偶且任意的欧拉曲面嵌入图存在棋盘可着色的部分Petrial,回答了 Ellis-Monaghan和Moffatt提出的公开问题.证明中我们利用了中间图的定向以及它们所对应的带子图边界分支的定向,同时我们也使用了箭表示的工具来讨论该问题.（4）Delta-拟阵理论是曲面嵌入图理论的一个自然推广.众所周知,一个可定向曲面嵌入图是二部的当且仅当它的Petrial对偶是可定向的.我们将曲面嵌入图的这个结论推广到任意的二元delta-拟阵.又任意二部曲面嵌入图的几何对偶是欧拉的,我们同时也将这个结果推广到拟阵的扭曲这类特殊的delta-拟阵.