该文研究具两具生成元的自由群和自由半群在任意域,特别是在有限域上的二维表示的分类问题,该问题等价于2×2可逆矩阵偶和一般矩阵偶在同时相似作用下的轨道分解问题.对于自由群的表示,该文首先将不可约性的判别方法,由已有文献中解方程,并对方程的根作组合的方法,改进为直接计算某个多项式的值的方法,并进一步给出区分绝对不可约性和非绝对不可约性的判别准则.其次,利用上述判别准则,给出这两类不可约表示的稳定化子的群结构.最后,利用该文给出的这些关于不可约表示的结果,结合关于可约表示的已有的分类结果,对有限域的情形,彻底解决了分类问题,求出了各类表示的同构类（轨道）的个数,及每个同构类中表示的个数（轨道长度）,给了了完整的分类表.用不同的方法研究了有限域扩张的该原元的计数问题,并得到一个关于Euler函数的新的恒等式,由此给出有限域上不可约多项式的计数方法,应用于自由半群在有限域上的表示的计数问题.对于自由半群在任意域上的表示,即等价地,全体（不必可逆）矩阵偶空间在同时相似作用下的轨道分解问题,该文先引入由一群作用导出的同时作用的概念,并给出研究同时相似作用的基本方法,即“稳定化子的二次作用方法”.