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本文中我们主要研究了多项式值的数字和、给定因数数目的整数以及和集与差集中的等差数列.具体工作如下：1.多项式值的数字和设整数q≥2,sq(n)表示非负整数n在q-进制下的数字和.众多学者对数字和进行了研究并得到了很多成果.本文主要研究多项式值的数字和.设其中h≥1,l≥1,αh>0,b1>0.本文证明了下面两个定理：定理1.1.设deg p1(x)>deg p2(x),如果对任意的正整数n,都有p1(n)≥1和p2(n)≥1,那么对任意的正数ε,都存在一个只依赖于ε,q,p1(x)和p2(x)的正常数Cl,使得对充分大的正整数N,总有其中α=ε(2h(l+3)(h(l+3)+1)+ε)-1.定理1.2.设deg p1(x)<deg p2(x),如果对任意的正整数n,都有p1(n)≥1和p2(n)≥1,那么对任意的正数ε,都存在一个只依赖于ε,q,p1(x)和p2(x)的正常数C2,使得对充分大的正整数N,总有2.给定因数数目的整数设正整数n=q1q2...qs,qi(1≤i≤s)均是素数,q1≥q2≥...≥qs, A(n)=p1q1-1p2q2-1...psqs-1,pk表示第κ个素数.如果n>1，正因数个数为n的最小正整数恰好是A(n),那么称n为平凡数.如果n>1,n不是平凡数,那么称n为非平凡数.1968年,Grost[26]确定了素因数数目(重素因数重复计数)不超过6的正整数中所有的非平凡数；并证明了形如16p(p是一个奇素数)的数均是非平凡数.2006年,Brown[5]证明了下面的结果：(i)素数p的κ次幂pκ是非平凡数当且仅当2p≤pκ,其中pκ表示第κ个素数；(ii)所有的无平方因子的数都是平凡数；(iii)设O表示全体平凡数构成的集合,那么对任意的0<δ<1/2,总有特别地,所有的平凡数在正整数集中的密度是1.在本文中,我们给出了正整数为平凡数的几个充分条件,改进了非平凡数计数函数的上界,完全弄清楚了5-自由数中哪些数是平凡数.我们证明了下面的三个定理：定理2.1.设正整数n>1的素数分解式是n=q1q2…qs,q1≥ q2≥…≥qs>1,如果对所有的正整数i≤(?),都有其中pk表示第κ个素数,[(?)]表示不小于(?)的最小整数,那么n是平凡数.定理2.2.对任意的ε>0,不等式N exp(-log log N)≤|[1,N]\O|≤N exp(-(loglogN)1-ε)对充分大的整数N均成立,其中[1,N]={1,2,…,N}.定理2.3.一个5-自由数是非平凡数当且仅当它在集合F5中,其中F5 ={2×34,22×33,22×34,22×34×5, 23,23×3,23×32,23×33,23×34,23×34×5,24,24×32,24×33,24×34,24×33×5,24×34×5,24×34×54}∪{16p：p是一个奇素数}.上述成果已发表在J.Number Theory上.3.和集与差集中的等差数列对于A, B(?)[1,N]={1,2,…,N},设A+B={a+b:a∈A,b∈B}, A-B={a-b:a∈A,b∈B}.2007年,Croot,Ruzsa和Schoen[9]证明了：对任意的奇数κ≥3和充分大的整数N,如果A,B(?)[1,N],|A||B|≥6N2-2/(κ-1),那么A+B包含长度为κ的等差数列.2010年,Hamel,Lyall,Thompson和Walters[28]证明了：设A∈[1,N],奇数κ≥3,如果|A|≥4N1-2/(k-1),那么A-A包含长度为κ的等差数列.在本文中,我们证明了下面的两个定理：定理3.1.设s ≥ 1,Ai(?)[1,N](1≤i ≤ s),κ≥3是一个奇数.如果|A1||A2|…|As|≥2s-1(?)Ns-2/(k-1),那么(a)Ai-Aj(1≤i,j≤s)均包含公差相同且长度为κ的等差数列；(b)Ai-Ai(1≤i≤s)均包含同一个长度为κ的等差数列.定理3.2.对任意的d>0和任意的奇数κ≥3,都存在一个常数N0=N(δ,k),使得当N≥N0,A,B(?)[1,N],|A||B|≥δN2-2/(k-1)时,A+B包含长度为κ的等差数列.上述成果已发表在Int.J.Number Theory上.