众所周知,研究流体力学方程的最合适的函数空间是Sobolev空间,因为在Sobolev空间中能量的定义非常简单.可是很多流体力学方程的基本问题在Sobolev空间中还没有满意的工作,比如Prandtl边界层问题在Sobolev空间中在很多情况下是不适定的.另一方面,利用Cauchy-Kovalevskaya定理,在解析函数空间这些方程都是局部可解的.但是解析函数空间不包含紧支集函数,因此不是研究流体力学方程的合适的函数空间.为此自然考虑到Sobolev空间和解析函数空间的过度空间Gevrey空间.本博士论文主要研究了流体力学里的几个齐次的不可压缩流体方程的解的Gevrey正则性问题,这些方程包含不可压缩Navier-Stokes方程、不可压缩Euler方程、理想的不可压缩Magnetohydrodynamic(以下均简称为MHD)方程以及不可压缩Boussinesq方程.在这些模型当中最基本的模型就是不可压缩Navier-Stokes方程,而不可压缩Euler方程与不可压缩Navier-Stokes方程的区别在于黏性项的消失以及相应的边界条件的变化.理想的不可压缩MHD方程与不可压缩Euler方程的区别在于耦合的Maxwell方程,这增强了理想的不可压缩MHD方程的非线性性.不可压缩Boussinesq方程与不可压缩Navier-Stokes方程的区别在于方程的外力项由未知量代替,它可看作用来理解不可压缩Navier-Stokes方程的一些关键性质的简化模型.正是由于这些模型的内在联系,我们把它们放在了一起进行研究.自从C.Foias和R.Temam在他们先驱性的工作[47]一文中首次应用Fourier空间的方法研究不可压缩Navier-Stokes方程的解的Gevrey类正则性以来,这种Gevrey类范数的技巧已经成为研究耗散型发展方程的解的解析性和解析半径估计的标准工具,例如[17,37,46,57,97].C.D.Levermore 和 M.Oliver 在文献[81]中通过选取合适的解析半径将这种研究方法推广到不可压缩Euler方程这种不具有耗散项的流体力学方程中去,同时他们还得到不可压缩Euler方程的解的解析半径的衰减估计.此后,I.Kukavica 和 V.Vicol 在文献[78]中推广了 C.D.Levermore 和 M.Oliver 的工作,他们得到不可压缩Euler方程的解的解析半径是指数地对梯度的无穷模衰减.特别地,I.Kukavica和V.Vicol在文献[79]中还讨论了半空间上的不可压缩Euler方程的解析解的解析半径估计,他们引入了新的方法来研究在带有边界的区域上不可压缩Euler方程的解的Gevrey正则性问题.这篇博士论文的主要工作是受到了上述研究方法的启发.本文将分为六章.第一章,作为引言部分,我们将介绍主要问题的背景和当前的研究进展.在第二章,我们将详细地介绍Gevrey类函数的定义和性质.同时我们还将介绍已知的主要结果和本博士论文的主要结果和创新点.在第三章,我们研究了周期区域上不可压缩Navier-Stokes方程的解在Gevrey类空间的黏性消失极限问题.我们证明了在周期区域上不可压缩Navier-Stokes方程的解在Gevrey范数下强收敛到不可压缩Euler方程的解,这是为了在Gevrey空间研究边界层理论做准备工作.在第四章,我们研究了不可压缩Euler方程在加权Gevrey类函数空间的传输性问题,这一问题是受到非滑动的Prandtl边界层问题的启发.这里,我们以半平面为例考虑二维不可压缩Euler方程.由于Fourier空间的办法不再适用,我们这里使用了了 I.Kukavica和V.Vicol在文献[79]中引入的Sobolev-Gevrey空间的办法.由于权函数的出现,非线性压力项的估计要困难得多,这也是我们这项工作的主要创新点.在第五章,我们研究了理想的不可压缩MHD方程的解的Gevrey传输性,同时我们也给出了解的Gevrey类半径的下界估计.我们的工作与经典的不可压缩Euler方程的结果有类似之处,但是方程的结构和计算过程都要复杂得多.此外,由于Gevrey空间理论在磁流体的边界层理论中也适用,因此这项工作也为研究磁流体的边界层理论做了准备工作.在第六章,我们研究了不可压缩Boussinesq方程的解的解析光滑效应问题.我们的工作与经典的不可压缩Navier-Stokes方程的结果有类似之处,但是方程的结构不同,逼近解的构造也要复杂一些.同时,我们这项工作为在Gevrey类空间上研究相应的边界层理论提供了理论基础.