【摘 要】
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怪波通常被认为是突然出现在海平面上的异常巨大的波浪,它来无影去无踪.最近几十年来,在应用数学和非线性物理领域,对怪波现象的探究是一个非常重要的内容.怪波这种非线性现象可以用非线性演化方程来描述.因此,寻求非线性演化方程的怪波解,对于研究非线性科学有着非常重要的意义.本文的主要内容是以Darboux变换为基础,在雅可比椭圆周期函数背景下,结合谱问题的非线性化方法,分别求得了两个高阶非线性演化方程的怪
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怪波通常被认为是突然出现在海平面上的异常巨大的波浪,它来无影去无踪.最近几十年来,在应用数学和非线性物理领域,对怪波现象的探究是一个非常重要的内容.怪波这种非线性现象可以用非线性演化方程来描述.因此,寻求非线性演化方程的怪波解,对于研究非线性科学有着非常重要的意义.本文的主要内容是以Darboux变换为基础,在雅可比椭圆周期函数背景下,结合谱问题的非线性化方法,分别求得了两个高阶非线性演化方程的怪波解.在这些怪波解的基础上,我们绘制了它们的二维和三维图像,并进一步分析了所得解的动力学特征与时空结构特点.本文的研究内容主要包含两个方面:（1）在雅可比椭圆函数dn和cn周期背景下,借助于高阶修正Korteweg-de Vries（mKdV）方程的Darboux变换方法,我们构建了该方程的一阶和二阶怪波解.当椭圆函数模数趋近于零或一,这些怪波解可以退化为有理亮孤子解和双孤子解.在一般的周期行波解背景下,通过使用谱问题的非线性化方法和该方程的Darboux变换方法,我们分别导出了高阶mKdV方程的一阶、二阶和三阶怪波解.（2）在雅可比椭圆函数dn和cn周期背景下,基于代数方法我们得到了高阶nonlinear Schr?dinger（NLS）方程的特征值与平方特征函数.然后,借助于该方程的Darboux变换方法,我们分别得到了高阶NLS方程在此周期背景下的一阶和二阶怪波解.接下来,当模数趋近于零或一,这些怪波解可以退化成一阶Peregrine孤子解和双极点解.
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