【摘 要】
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扩张理论是空间理论中的一项重要内容,扩张理论的提出为解决算子代数及框架问题提供了有力的工具.著名的Naimark定理和Stinespring扩张定理告诉我们每一个正算子值测度都有投影值扩张,作用在C*-代数上的每一个完全有界线性映射都可以扩张为有界*-同态,这些都是Hilbert扩张.然而,在交换和非交换情形下,对于任意算子值测度和线性映射,都有基于Banach空间的一般扩张理论存在.这种一般的扩
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扩张理论是空间理论中的一项重要内容,扩张理论的提出为解决算子代数及框架问题提供了有力的工具.著名的Naimark定理和Stinespring扩张定理告诉我们每一个正算子值测度都有投影值扩张,作用在C*-代数上的每一个完全有界线性映射都可以扩张为有界*-同态,这些都是Hilbert扩张.然而,在交换和非交换情形下,对于任意算子值测度和线性映射,都有基于Banach空间的一般扩张理论存在.这种一般的扩张理论最终可得到有界线性映射和算子值测度的分类理论.本文首先介绍含幺元代数和向量空间上代数版本的线性系统扩张理论.通过引进两种自然的扩张结构,即典则扩张和万有扩张,证明每一个线性极小扩张等价于万有扩张的一个约化同态扩张?通过万有扩张的合成算子的核中的伴随约化子空间,给出所有的线性极小同态扩张的主要分类结果.其次,限制在C*-代数上,介绍经典的Hilbert空间扩张理论,从Stinespring扩张出发,给出完全有界线性映射的刻画.最后,给出算子值测度和未必完全有界的有界线性映射的一般的Banach空间扩张理论,即算子值测度的投影值扩张理论和更一般地Banach代数上有界线性映射的有界同态扩张理论,并通过一个例子说明即使对交换的纯原子的von Neumann代数也存在没有Hilbert扩张的情况.Banach空间扩张理论真正推广了Naimark扩张和Stinespring扩张.
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