近些年来，国内外越来越多的著名数学学者从事伽玛函数和ψ函数（对数）完全单调性方面的研究。（对数）完全单调性已经成为数学知识新增热点之一。与伽玛函数和ψ函数相关函数的完全单调性以及对数完全单调性，对一些重要不等式的证明、加强与推广，具有十分重要的作用。在组合数学中，Bell多项式和Catalan数的特殊序列均满足大量的恒等式，并且在数论、数值分析等领域都有广泛的应用。所以本文主要内容都有涉及以上知识。本文主要分为五部分，第一部分主要介绍研究背景，第二部分主要修正了关于q伽玛函数的完全单调性质证明的两篇文章，第三部分主要研究的是一个特殊的函数成为对数完全单调函数的充分条件和必要条件，这个函数是由伽玛函数和Catalan数演变得到的。第四部分介绍了第二类Bell多项式特殊值的显示表达式，用贝塞尔多项式连接，且应用著名的Faà di Bruno公式，给出了Catalan数新的表达形式，而且计算出一些基本初等函数的任意高阶导数。其中基本初等函数包括正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等。第五部分是总结和展望。