量子力学除了有薛定谔的波动力学表述、海森堡的矩阵力学表述(这两种被狄拉克总结为符号法)和费曼的路径积分表述外,还有一种常用的是相空间表述,即把量子力学算符以一定的规则(例如Weyl对应规则)对应到q—p相空间的经典的坐标—动量函数,导出量子态的Wigner函数,建立相似于薛定谔波动方程的Wigner函数的时间演化方程。量子相空间分布函数允许人们用尽可能多的经典语言来描述系统的量子特性,并作为量子力学算符的表象工具来使用,最近被作为用来研究量子光学、量子信息和量子计算机的有用工具。量子相空间分布函数是量子相空间理论中最重要的组成部分,它既是量子相空间理论的基础,也是实际应用中的最主要的工具之一。量子力学中态的描述是基于几率的假定,而数学上的随机现象也具有概率统计的特性,于是这促使我们寻找这样一种理论基础,该理论能够把概率统计这一数学工具与量子力学中联系起来,这就是本文的出发点。最近关于Wigner函数的研究一直是个热点,在国际上研究相空间理论中的Wigner函数一般是沿用Wigner于1932年提出的Wigner函数定义式.发展新的更具有普遍意义的量子相空间分布函数是目前量子相空间理论的重要研究课题之一。我们将给出广义Wigner算符,借助IWOP技术,可以发现其正规乘积形式正好与统计中的二维正态形式相对应,并且讨论其边缘分布,最后给出其合理的物理意义。利用有序算符内的积分技术和Weyl编序理论,把Wigner算符理论应用到傅立叶切片定理中,我们得到了某个纯态的投影算符。经过进一步研究发现,此态是完备的,构成量子力学新表象,且该态有助于量子力学中的层析成像(Tomography)理论的研究。这不仅丰富和发展了量子相空间分布函数理论,而且开辟了寻找量子力学表象的新途径。有序算符内的积分技术可以用来研究许多纯态的完备关系,例如坐标本征态,动量本征态和相干态,研究发现其完备关系都可化成在正规乘积内的高斯形式,基于以上思想,借助有序算符内的积分技术(IWOP)和相似变换下Weyl变换的不变性,我们讨论一类单模混态和具有纠缠性质的两模混态的密度矩阵。经过研究,我们发现它们都可化成正规乘积内的二维正态分布形式,并且分析其边缘分布情况和方差。通过这种方法,我们可以把量子统计中的密度算符理论与数学统计联系起来,这大大丰富和发展了量子相空间分布函数理论。基于湮灭算符的本征态存在p表示的思想,我们利用产生算符的本征态及其围道积分形式的完备关系来研究若干特殊函数的性质,最后得到了因变量为|z|~2的连带Laguerre多项式的围道积分形式及其新的母函数和递推公式,这些工作大大丰富了广义相空间理论和量子力学表示理论。