拓扑量子计算是近十几年发展起来的一门新颖的交叉学科,涉及到量子计算,拓扑学,拓扑量子场论,以及含拓扑序的凝聚态物理等。拓扑量子计算利用多体系统中的拓扑量子态来存储和操控量子信息,具有内在的容错能力,给量子计算的物理实现带来了希望,也促进了我们对物质拓扑量子行为的探索。在含拓扑序的二维强关联系统中,可能存在一类称为任意子的奇异粒子。与三维空间中的玻色子和费米子不同,任意子遵循阿贝尔统计或非阿贝尔统计。非阿贝尔任意子可以用来编码量子比特,拓扑地存储量子信息。非阿贝尔任意子在2+1维时空中的世界线形成辫子。我们可以利用这些辫子来构造普适的拓扑量子计算门,从而进行任意的拓扑量子操作。由于辫子拓扑的离散性,拓扑量子计算具有内在的容错能力,局域的微扰不影响拓扑量子信息的存储与处理。然而在庞大的辫子空间中有效地构造普适的拓扑量子计算门并非易事。通过把双量子比特门分解为单量子比特门,普适的拓扑量子计算门的有效构造成为可能。辫子拓扑的离散性启发我们对冗余自由度引入几何误差,从而得到低泄漏的双量子比特门。进而我们分解单量子比特门,结合引入误差减小误差的思想,我们得到了高精度单量子比特门。同时我们对拓扑量子计算算法中的自由度也作了探索。我们还构造了类重整化群的量子编译算法,从而在理论上达到了任意精度的拓扑量子计算。本论文的研究也可以推广应用到一般量子计算中的容错量子计算和矩阵普适性构造相关的数学领域中。