近年来,拓扑超导体一直是凝聚态领域研究的热点,部分原因是其边界上会出现的Majorana零能模,这种零能模式服从非阿贝尔统计,可以用于拓扑量子计算。在本文中,我们研究了二维棋盘晶格手征拓扑超导体中发生的多样的拓扑量子相变以及在该拓扑超导体中拓扑特征量-陈数、边缘态以及Majorana零能模式-之间的关系。本文的内容安排如下:第一章中,我们简要介绍了 Majorana费米子的提出背景以及Majorana费米子可能出现在超导体中的原因;而后我们概括了近年来实现拓扑超导体以及具有Majorana费米子性质的Majorana零能模的理论和实验方案。在第二章中,我们具体地介绍了这些方案,包括理论上利用最简单直接的p波超导体以及实验上广泛利用的常规s波超导体与其它材料的近邻耦合。第三章中,我们研究了棋盘状陈绝缘体晶格模型中的无自旋电子p波配对的二维拓扑超导体。对于这个有两套子格的晶格体系而言,在只有最近邻格点(不同子格)上电子p波配对的情况下,我们就得到了丰富多样的拓扑量子相,包含了高陈数(± 3)的相。当考虑次近邻格点(相同子格)上电子间超导配对时,更高陈数(±4)的相出现。我们提出了一个实现Majorana零能模的方案,通过在准一维链上引入简谐势来调控有效化学势,在准一维链上产生多重拓扑超导态。Majorana零能模局域在相变界处,并且很好地分开。第四章中,我们讨论了我们拓扑超导体中的拓扑性表征问题。通常,手征拓扑超导体的拓扑性质是由体陈数、边缘态和Majorana零能模来表征的,但是对于这三者之间的关系以及它们是否相互等效尚不明确。我们在第三章中得到的丰富的拓扑量子相的基础上,研究并说明了在我们的体系中陈数、边缘态以及Majorana零能模之间存在不匹配,其关键因素是一些由陈绝缘体衍生的超导体的边缘态不满足粒子空穴对称性。对于以上的结论,我们还在涡旋体系以及Josephson结中进行了验证。在第五章中,我们对自己的工作做了总结和展望。