几何建模于20世纪70年代中期发展起来,它将形体的描述和表达建立在几何信息和拓扑信息上,是把现实世界中的物体及其属性转化为计算机内部可数字化表示、分析、控制和输出的几何形体的方法,即计算机系统环境下物体的三维表示、设计和显示。物体三维表示中的曲线曲面拟合是计算机图形学、计算机辅助几何设计、计算机视觉、计算机动画和数字内容创作等领域的基本问题和关键问题,是曲线曲面建模的一个重要研究课题,也是CAD系统的一个重要组成部分。作为一种古老而常用的数据处理与分析的数值方法,曲线曲面拟合已被逐步推广到多个领域,成为工程、实验、统计、计算机图形等许多实际工程中的共性问题,并取得了极大成功。本文以稀疏表示技术作为工具,讨论了曲线曲面拟合建模的若干问题。信号的稀疏表示是20世纪90年代初提出的一种新兴的信号表示方法,从2004年压缩感知提出之后,稀疏表示理论很快在信号和图像处理中发展起来,成为信号处理的有效工具,在人脸识别、图像去噪、图像修复、特征提取等领域都有很重要的意义。因此,稀疏表示技术吸引了很多学者的关注,并将稀疏表示相关技术应用到几何建模的很多问题中。然而,几何信号是定义域不规则的二维流形,不能将图像中的方法直接推广。为了对几何建模问题中稀疏表示技术有更清晰的理解和认识,我们从稀疏正则化、字典学习和低秩表示三个方面介绍了相关工作的使用方法和稀疏表现,其对异常值的鲁棒性、对尖锐特征的保持能力等突出表现了较其他启发式方法的优越性。曲线曲面拟合中,参数化表示具有易于绘制、易于确定曲线曲面上点的位置等优点,是形状数学描述的标准形式,但是,曲线曲面本身并没有特有的而且固定的参数化,对参数化的依赖性很大程度上影响了拟合效果。针对这个问题,我们试图对参数化进行优化,使曲线曲面拟合问题摆脱对参数化的依赖。基于这种考虑,我们将参数化优化耦合到稀疏表示中,得到了复合的稀疏表示方法,提出了曲面拟合的一个全局的约束优化问题。由于同时求解稀疏的组合系数和参数化会大大增加该问题的求解难度,我们利用增广拉格朗日(ALM)方法的思想对原问题进行改进后,利用交替方向乘子法(ADMM)迭代更新所有变量。本质上,参数化优化是从输入的几何曲面上进行学习的过程,最终为预定义的基函数找到最优的参数化。我们的方法不仅有效地克服了现有方法的过拟合问题,即使在多项式基函数下,非光滑(尖锐)特征也被很好地表示出来。实验结果表明,复合稀疏表示方法可以逼近各种带有不同程度尖锐特征的曲面,充分说明了它在曲面拟合、点云重建等不同应用中的有效性和在几何建模问题中的潜能。从深度学习的角度来看,复合方法是只有两层网络的多层表示,一层是参数优化,一层是基函数的线性组合。从多层表示的性质也可以理解为什么我们的方法更有效。针对很多有趣且有挑战性的几何建模问题,我们还可以进行深入的挖掘,找到更多可以用多层表示来解决的问题。与曲面拟合工作不同,曲线拟合中,我们用数控机床刀具轨迹设计中常用的圆弧样条逼近有序的数据点序列。圆弧样条通常希望圆弧段数尽可能少,相邻两段圆弧满足G1连续。现有很多方法都是启发式地搜索相邻圆弧间的连接点,如何设计算法自动检测出连接点一直是个有趣的研究课题。由于圆弧样条的曲率是分段常值的,其梯度只有在相邻圆弧的连接点处是非零的,也就是说,大部分曲率的梯度值都是零,这种完美的稀疏表现自然可以用稀疏表示技术进行相关处理。因此,利用该稀疏性,我们首先用稀疏表示方法检测出曲率变化非零的连接点,对圆弧样条进行初始化,但是这个全局的初始逼近结果可能不满足G1连续的性质,我们又对连接点的位置做进一步调整。最终,经过全局的初始化和局部的修正处理,得到了令人满意的圆弧样条逼近结果,不仅满足了 G1连续的要求,也将圆弧段数进行了重新优化。我们将自己的方法与其他启发式方法进行了比较,结果充分显示了对连接点的自动检测能力的优越性,优化出的圆弧段数和逼近误差也说明了新方法具有更好的逼近能力,以及对对称性的敏感性。当然,优化过程中所有的变换矩阵都是利用输入的数据点序列近似计算的,逼近结果也自然依赖于输入数据的密集程度,所以,找到新的变换矩阵的计算方法是非常有意义的研究内容,将本文的思想推广到其他问题中也是很有前景的研究方向。