波动方程是偏微分方程和分布参数控制理论的一个重要的研究内容，对它的研究必将促进偏微分方程和控制理论的进一步发展.本文的研究内容主要有两个.一是应用偏微分方程理论和Sobolev空间理论研究具非线性阻尼和非线性源项的波动方程的解的性质.二是应用黎曼几何方法，结合Carleman估计等方法研究具变系数主部的波动方程的可控性和能量衰减问题.　　论文分为三章.　　第一章是引言，主要介绍本文的研究背景，国内外研究现状及本文的主要结果.　　第二章主要研究一些弹性振动系统的解的性质.这些性质有解的全局存在性、解的爆破分析、解的非全局存在.　　第二章第一节研究如下的波动方程:{utt+|ut|m-1ut=div(ρ(|▽u|2)▽u)+f(u,v),(x,t)∈Ω×(0,T),vtt+|vt|r-1vt=div(ρ(|▽v|2)▽v)+f2(u，v),(x，t)∈Ω×(0,T),u=v=0,(x,t)∈(a)Ω×(0, T),u(x,0)=u0(x)，ut(x,0)=u1(x), x∈Ω,v(x,0)=v0(x),vt(x,0)=v1(x), x∈Ω,其中，Ω是Rn（n=1，2，3）中的具有光滑边界(a)Ω的有界区域;m，r≥1;fi(·，·):R2→R2是给定的函数.ρ是满足以下条件的C1类函数:对s＞0ρ(s)＞0,ρ(s)+2sρ(s)＞0.假设系统具有负初始能量，当函数f1，f2，初值u0，u1，v0，v1和系统中的参数r,m满足适当的条件时，得到了系统解的全局存在和全局不存在的结论.　　第二章第二节研究如下的粘弹性波动方程解的性质:{utt+|ut|m-1ut=div(ρ1(|▽u|2)▽u)+f1(u,v)-∫t0g1（t-s）△u(s)ds，(x，t）∈Ω×(0，T)，vtt+|vt|r-1vt=div(ρ2(|▽v|2)▽v)+f2(u,v)-∫t0g2(t-s)△v(s)ds,(x,t)∈Ω×(0, T),u=v=0,(x,t)∈(a)Ω×(0,T),u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x), x∈Ω,v(x,0)=v0(x),vt(x,0)=v1(x), x∈Ω,其中，Ω是Rn(n=1，2，3)中的具有光滑边界(a)Ω的有界区域;m，r≥1;ρi=1+sqi，i=1,2.f1(u,v)=[|u+v|2(ρ+1)(u+v)+|u|ρu|v|(ρ+2)]，f2(u,v)=[|u+v|2(ρ+1)（u+v)+|v|ρv|u|(ρ+2)].假设系统具有正初始能量，当函数f1，f2，初值u0，u1，v0，v1和系统中的参数r，m，ρ满足适当的条件时，证明了系统的解不能全局存在.　　第二章的第三节研究以下非线性梁振动系统φtt+σ（φxx）xx+ aφt|φt|m-1=bφ|φ|p-1, x∈(0,1)， t≥0,其中， a＞0, b＞0，p＞1，m＞1.初始条件为φ(x,0)=φ0(x)，φt(x,0)=φ1(x), x∈[0,1].假设梁的右端是铰链连接的，即φ(1,t)=φxx(1,t)=0,t＞0.左端带有输入u(t)=(u1(t)，u2(t))和输出y(t)=(y1(t)，y2(t))，且满足{σ(φxx(0，t))-φtx(0，t)=2u1(t)， t≥0，σ（φxx）x(0，t)+φt(0，t)=2u2(t)， t≥0，和σ(φxx(0，t))+φtx(0，t)=2y1(t)， t≥0，σ（φxx）x(0，t)-φt(0，t)=2y2(t)，t≥0.　　通过构造辅助函数，证明了当初值，输入，输出函数分别满足适当的条件时，系统的解在有限时刻爆破和整体存在.　　第三章研究论文的第二个主要内容:具变系数主部的波动方程的可控性和能量衰减问题.第三章中Ω是Rn(n≥2)的一个具有光滑边界Γ的有界区域.假设Γ由Γ0和Γ1两部分组成;Γ0∪Γ1=Γ，Γ0是Γ的非空的相对开集.记v为边界上的外法向量.在Euclidean度量下，记向量场X的散度为div(X).A(x)=(aij(x))是一个n×n的矩阵函数，其中aij=aji.　　第三章第一节做一些准备工作，介绍本章的主要研究方法:黎曼几何方法.　　第三章第二节研究如下的带边界记忆条件的波动方程{utt-div(A(x)▽u)+f(u)=0,(x，t)∈Ω×(0,∞),u=0，(x，t)∈Γ0×(0，∞)，(a)u/(a)vA=-∫t0k(t-s，x)ut(s)ds-g(ut),(x,t)∈Γ1×(0，∞)，u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x), x∈Ω.当函数f，k和g满足适当的假设时，获得了系统能量指数衰减的结论.　　第三章第三节研究如下带非线性边界反馈的波动方程{utt-div(A(x)▽u)-<▽gφ，▽gu)g=0，(x，t)∈Ω×(0，∞),u=0，(x，t)∈Γ0×(0，∞)，(a)u/(a)vA+f(ut)=0，(x，t)∈Γ1×(0，∞)，u(x,0)=u0(x)，ut(x,0)=u1(x),x∈Ω,其中φ(x)∈W1,∞(Ω)是一个已知函数，(a)u/(a)vA是u沿着vA=Av的导数.f是定义在Γ1上的连续的非线性的非负函数.在一些假设条件下，我们分别获得了系统能量指数衰减和多项式衰减的结论.　　在第三章第四节，令二阶微分算子Au=-n∑i,j=1(a)/(a)xi（aij(x)(a)u/(a)xj），x=(x1,x2,…,xn),其中aij=aji是C1类函数且满足n∑ij=1aij(x)ξiξj≥ a0n∑i=1ξ2i，x∈Ω，ξ=(ξ1，ξ2，…，ξn)∈Rn，a0＞0.　　研究如下平行耦合的波动方程的可控性问题{utt+Au-α(v-u)-β(vt-ut)=0,(x，t)∈Q,vtt+ Av-α(u-v)-β(ut-vt)=0,(x,t)∈Q,u|∑1=0,u|Σ0=w1(x,t),(x，t)∈Σ,v|∑1=0,v|Σ0=w2(x，t),(x，t)∈Σ,u(x,0)=u1(x),ut(x,0)=u2(x),(x,t)∈Ω,v(x,0)=v1(x)，vt(x,0)=v2(x),(x,t)∈Ω,其中， Q=Ω×(0，T]，Σ=Γ×(0，T]，Σi=Γi×(0，T]，i=0，1.w1(x，t)和w2(x，t)是边界控制函数，α，β分别表示弹性耦合常数和阻尼耦合常数.应用黎曼几何方法和新的Carleman估计得到了系统的能观测性不等式，从而得到了系统的精确能控性.