David Hilbert在1900年国际数学家大会的开幕式上提出了23个公开问题，其中第16个是关于代数曲线的分类和常微分方程定性理论的一个非常重要但又非常困难的问题．可以说在上个世纪有很大一部分定性理论方面的工作直接或间接与此问题相关，例如在综述性文献[Bull．Amer．Math．Soc．(New Series)，2002，39(3)：301—354]中罗列了160多篇相关参考文献；在专著[叶彦谦，多项式微分系统定性理论，上海科学技术出版社，上海， 1993]中罗列了600多篇文献。在1995年该问题又作为Stephen Smale关于21世纪18个数学问题[Math．Intelli．，1998，20(2)：7-15]的第13问题而提出。 在绪论中，我们讨论了多项式系统的极限环以及高阶细焦点系统的研究进展。事实上研究这些问题的方法很多，本章中我们主要介绍了向量场的分岔和后继函数方法以及这些方法的研究进展。 为了全面了解Hilbert第16问题工作的进展，本文第二章将作一个综述，内容涉及到人们对Hilbert第16问题细分的三个层面：单个有限性问题、存在性Hilbert问题和构造性Hilbert问题。 在第三章我们研究了Hilbert第16问题的第三个层面，具体地说是对任意奇数次系统构造性地给出Hilbert，数H(n)地更好的下界，其中H(n)代表n次多项式系统最大的极限环个数。白敬新、刘一戎对偶数n证明了H(n)≥n<2>-n，对奇数n尚无结果。 从白敬新、刘一戎的方法可以知道，Hilbert数的下界与所构造系统的小参数个数直接相关。在本文第四章我们构造了含有更多小参数的特殊系统使得各个焦点量之间具有更好的隐含递推关系，在转化焦点量计算的基础上充分利用这些递推关系得到更高阶数的细焦点系统，从而对偶数n得到更高的下界H(n)≥n<2>-1。这个结果不仅改进了前人的结果，而且当n=2时还表明系统有3个极限环，这正是Bautin在1954年对二次系统得到的、至今仍是围绕单个奇点极限环的最高个数估计。